[論文レビュー] Hypergroups over the group and generalizations of Schreier's theorem on group extensions

Samuel H. Dalalyan|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、群の超群を用いた新しい概念を導入し、群の拡大に関するシュライエルの定理を一般化する。部分群に対する右横断集合に超群構造を定義することにより、次数 $ m $ の群の拡大の同型類と、群作用に関する超群の軌道との間に標準的な全単射を確立し、特に非アーベル群の場合に拡張された古典的コホロジー分類を統一的に扱う。

ABSTRACT

Let $H$ be a group, $m$ be a positive integer, $Ext_m H$ be the set of all isomorphic in $G$ classes of group monomorphisms $φ: H ightarrow G$ such that index of $φ(H)$ in $G$ is $m$. The main goal of this paper is to describe the elements of $Ext_m H$ in terms of a new concept of hypergroups over the group. The obtained result is a very broad generalization of the Schreier theorem (1926). As an application, a series of intermediate generalizations is obtained; particularly, a description of the set $Ext (H, Q)$ of isomorphic classes of all extensions of a noncommutative group $H$ by $Q$.

研究の動機と目的

• 1926年のシュライエルの群の拡大に関する定理を、新しい代数的構造を用いて非アーベル群に一般化すること。
• 群、体、線形空間を統一する枠組みとして、群上の超群を定義し特徴づけること。
• 次数 $ m $ の群の拡大の同型類と、群作用に関する超群の軌道との間に標準的な全単射を確立すること。
• 2次元コホロジーを用いて、非アーベル正規部分群に対しても拡大のコホロジー分類を拡張すること。
• 群 $ H $ がアーベルである場合にシュライエルの元々の定理が特別な場合として回復されることを示すこと。

提案手法

• 群 $ G $ の部分群 $ H $ に対する右横断集合 $ M $ を用いて、構造写像 $ \theta = (\Phi, \Psi, \Xi, \Lambda) $ を用いて、群 $ H $ 上の超群を定義する。
• 超群に関連する（外部）正確積の概念を導入し、直積、半直積、ニューマンの一般積を一般化する。
• 超群 $ H $ 上の同型類の集合 $ Hg(H,M) $ に作用する群 $ \mathcal{G} $ と作用 $ \mathcal{A} $ を構成する。
• 2次元コチェイン $ \kappa \in H^M $、コバウンダリー $ \Lambda_\kappa $、およびコホロジー群 $ H^2((M,\Xi), H, \underline{\Psi}) $ を定義する。
• 群 $ H $ がアーベルであるとき、$ B^2((M,\Xi), H, \underline{\Psi}) $ が $ Z^2((M,\Xi), H, \underline{\Psi}) $ の正規部分群であることを証明し、商コホロジー群を構成可能にする。
• 標準的全単射 $ Ext_m(H) \cong Hg(H,M)/\mathcal{A} $ を確立し、与えられた商群 $ Q $ による拡大の分類にまで拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された次数 $ m $ の群の拡大を、統一的な代数的構造を用いてどのように分類できるか？
• RQ2 シュライエルの群の拡大に関する定理を、アーベルでない正規部分群にまで一般化できるか？
• RQ3 群上の超群が群の拡大をパrameter化する役割を果たすのはどのような場合か？
• RQ4 構造写像 $ \Phi, \Psi, \Xi, \Lambda $ は、拡大における群の乗法をどのように符号化するか？
• RQ5 2次元コホロジー群 $ H^2(Q, H, \underline{\Psi}) $ が $ H $ を $ Q $ で拡大する拡大を分類するための条件は何か？

主な発見

• 次数 $ m $ の群の拡大の同型類の集合 $ Ext_m(H) $ と、群作用 $ \mathcal{A} $ に関する $ H $ 上の超群の集合の商 $ Hg(H,M)/\mathcal{A} $ の間に、標準的な全単射が存在する。
• 正規拡大の集合 $ Ext_{m,0}(H) $ は、$ \Phi $-作用が自明である超群からなる $ Hg_0(H,M) $ の商 $ Hg_0(H,M)/\mathcal{A} $ に全単射である。
• 固定された同型類 $ [\Xi] $ に対して、集合 $ Hg_0(H,M,[\Xi])/{\mathcal{A}} $ は、$ Q = (M,\Xi) $ とすると $ Ext(H,Q) $ に全単射である。
• 群 $ H $ がアーベルであるとき、写像 $ j: Hg_0(H,M,\Xi,\Psi)/\mathcal{A}_0 \to H^2((M,\Xi), H, \underline{\Psi}) $ は標準的全単射であり、シュライエルの定理を回復する。
• 群 $ H $ がアーベルであるとき、2次元コホロジー群 $ H^2((M,\Xi), H, \underline{\Psi}) $ は $ H $ を $ Q $ で拡大する拡大を分類するが、その分類は逆準同型 $ \underline{\Psi} $ に依存する。
• 一般に、群 $ H $ が非アーベルである場合、$ B^2 $ が正規でないおよび非可換性のため、商群を構成できず、この構成は失敗する。