[論文レビュー] Hyperkahler manifolds and nonabelian Hodge theory of (irregular) curves

Philip Boalch|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、有理型接続とヒッグスバンドルを備えた不規則な曲線（特異点を持つコンpakトなリーマン面）への非アーベルホッジ理論の拡張を試み、関連するヒッグスバンドル（ドゥルベール型）、接続（ド・ラーム型）、表現（ベティ型）のモジュライ空間がハイパーカイラー多様体であることを示している。主な貢献は、特に $E_8$ 場合において、これらモジュライ空間が ALE 空間などのよく知られたハイパーカイラー多様体と微分同相であることを示し、特異な三次曲線の上に位置する 9 点での $ p^2$ の吹き上げにより明示的な幾何的実現がなされることである。

ABSTRACT

Short survey based on talk given at the Institut Henri Poincare January 17th 2012, during program on surface groups. The aim was to describe some background results before describing in detail (in subsequent talks) the results of [Boa11c] related to wild character varieties and irregular mapping class groups.

研究の動機と目的

• コンパクト曲線から不規則な曲線（有理型特異点を有する）への非アーベルホッジ理論の一般化。
• 不規則な曲線上の有理型ヒッグスバンドルおよび接続のモジュライ空間がハイパーカイラー多様体であることを確立すること。
• 特に $E_8$ 場合において、特異な三次曲線の上に位置する点での $ p^2$ の吹き上げにより、これらのハイパーカイラー多様体の明示的幾何的実現を記述すること。
• 代数的構造が異なるにもかかわらず、ベティ、ドゥルベール、ド・ラームモジュライ空間が解析的に同型であることを結びつけること。
• モジュライ空間上の代数的構造を用いて、不規則な曲線における写像類群作用の一般化を実現すること。

提案手法

• 非アーベルホッジ対応を用いて、不規則な曲線上のドゥルベール（ヒッグスバンドル）、ド・ラーム（接続）、ベティ（表現）モジュライ空間を関連付ける。
• 無限次元空間からのハイパーカイラー商を用いて、これらのモジュライ空間にハイパーカイラー構造を構成し、有限次元の ALE 商の一般化を行う。
• 特定のハイパーカイラー多様体（例：$E_8$ 型 ALE 空間）を、群法則において和が 0 となる特異な三次曲線上の 9 点での $ p^2$ の吹き上げにより実現する。
• 9 点の和が 0 であるとき、得られる曲面 $S$ はドゥルベールモジュライ空間 $ cal M_{\text{Dol}}(E_8)$ に同型であることを示す。和が 0 でない場合、$S \cong \ncal M_{\text{DR}}(E_8)$ となる。
• リーマン＝ヒルベルト対応を用いて、$ cal M_{\text{DR}}$ と $ cal M_{\text{B}}$ の間の解析的同型を確立するが、代数的同型は存在しない。
• ガウス＝マニン接続を用いて非線形等モノドロミー系を導出し、ピカール＝フックス方程式およびパレーヴェ方程式の一般化を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則な曲線上の有理型ヒッグスバンドルおよび接続のモジュライ空間は、どのようにしてハイパーカイラー構造を引き継ぐのか？
• RQ2 $E_8$ 型不規則な曲線から生じるハイパーカイラー多様体の幾何的実現は何か？
• RQ3 代数的構造が異なるにもかかわらず、不規則な曲線上のベティ、ドゥルベール、ド・ラームモジュライ空間は解析的に同型であるか？
• RQ4 不規則な曲線の許容的変形を用いて、キャラクター多様体上の写像類群作用をどのように一般化できるか？
• RQ5 これらのモジュライ空間は、$ p^2$ 上での吹き上げ構成を通じて、古典的な ALE ハイパーカイラー多様体をどの程度一般化するのか？

主な発見

• $E_8$ 場合のモジュライ空間 $ cal M_{\text{Dol}}(E_8)$ は、群法則において和が 0 となる特異な三次曲線上の 9 点での $ p^2$ の吹き上げによって得られる複素曲面 $S$ に同型である。
• 9 点の和が 0 でない場合、同じ曲面 $S$ はド・ラームモジュライ空間 $ cal M_{\text{DR}}(E_8)$ に同型であり、非ゼロの和はスケーリングにより無視可能である。
• 8 点のみの場合、得られる曲面は、$(-2)$-曲線の $E_8$ 組み合わせを含む、開かつ滑らかなアフィンモジュライ空間 $ cal M^*(E_8)$ に同型である。
• ベティ空間 $ cal M_{\text{B}}(E_8)$ はド・ラーム空間と解析的に同型だが、幾何的には異なる。これは、滑らかな部分に 8 点を持つノードを持つ三次曲線を含む $ p^2$ から生じる。
• モジュライ空間の開部分集合 $ cal M^*$ は、$A_n$、$D_n$、$E_6$、$E_7$、$E_8$ 型の ALE ハイパーカイラー多様体に同型であり、クロネイマーの構成を一般化する。
• モジュライ空間上のハイパーカイラー構造は、無限次元空間からのハイパーカイラー商として生じるが、有限次元の ALE 商とは対照的である。