[論文レビュー] Hypersonic limit of two-dimensional steady compressible Euler flows passing a straight wedge

Aifang Qu, Hairong Yuan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、圧縮性Euler流の極限において比熱比γが1に近づくとき、2次元直線楔の周りの極超音流に対するニュートン理論の厳密な数学的裏付けを確立する。これは無限大のマッハ数に対応する。本稿では、楔の表面にディラック測度を含む特異測度解を構成し、衝撃波を伴う弱解がこの測度解に弱収束することを証明し、超臨界保存則における測度値解の必要性を示している。

ABSTRACT

We formulated a problem on hypersonic limit of two-dimensional steady non-isentropic compressible Euler flows passing a straight wedge. It turns out that Mach number of the upcoming uniform supersonic flow increases to infinite may be taken as the adiabatic exponent $γ$ of the polytropic gas decreases to $1$. We proposed a form of the Euler equations which is valid if the unknowns are measures and constructed a measure solution contains Dirac measures supported on the surface of the wedge. It is proved that as $γ o1$, the sequence of solutions of the compressible Euler equations that containing a shock ahead of the wedge converge vaguely as measures to the measure solution we constructed. This justified the Newton theory of hypersonic flow passing obstacles in the case of two-dimensional straight wedges. The result also demonstrates the necessity of considering general measure solutions in the studies of boundary-value problems of systems of hyperbolic conservation laws.

研究の動機と目的

• 比熱比γ→1の極限における圧縮性Euler方程式の極限を用いて、2次元楔の周りの極超音流に対するニュートン理論を厳密に裏付けること。
• 極超音流極限が圧力の消失ではなく、γ→1に対応することを示し、特異性の種類が別個のものであることを明らかにすること。
• 極限状態（γ=1）に対して、楔の表面にサポートされたディラック測度を含む測度解を構成すること。
• 弱解（衝撃波を含む）の列がγ→1の極限においてこの特異測度解に弱収束することを証明すること。
• 超臨界保存則の境界値問題において、一般測度解を考察することが不可欠であることを確立すること。

提案手法

• 測度値未知数を扱える一般化された形での2次元定常圧縮性Euler方程式を定式化する。
• 楔の境界上にディラック測度を含む解構造を組み込むためのEuler系の新規定式化を導入する。
• 極限状態（γ=1）に対して、楔表面におけるディラック測度の重みを明示的に導出することにより、特異測度解を構成する。
• 特異性の解析に特化した特徴曲線法と衝撃極線解析を用いて、γ→1における弱解の極限を分析する。
• 弱解の列（測度として表現される）が、構成された特異測度解に弱収束することを証明する。
• 部分積分とテスト関数の議論を用いて、極限測度解が分布的意味でEuler方程式を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元超音流が直線楔を通過する定常圧縮性Euler方程式の解は、マッハ数が無限大に近づくときどうなるか？
• RQ2 多成分気体の状態方程式における物理的パrameter γ→1 は、どのように極超音流極限に対応するか？
• RQ3 楔の表面にディラック測度を含む特異測度解を、厳密に構成することは可能か？
• RQ4 衝撃波を含む弱解の列が、ある明確な意味でこの測度解に収束するか？
• RQ5 極超音流極限における特異性の性質は何か？また、圧力なしまたはチャプレジン気体モデルにおけるδ-衝撃波とはどのように異なるか？

主な発見

• 比熱比γ→1のとき、入射超音流のマッハ数は無限大に近づき、これは極超音流極限に対応する。
• 楔の前方に衝撃波を含む弱解の列は、γ→1の極限において弱収束し、特異測度解に収束する。
• 極限測度解には、楔の表面にサポートされたディラック測度が含まれており、その重みはsin²θ / cosθ に局所的なx座標を乗じたものに比例する。
• 極限において圧力は点で消失し、測度としても消失し、運動量およびエネルギーフラックスは楔の境界上に集中する。
• 収束は分布の意味で確立されており、極限測度解は弱形式におけるEuler方程式を満たす。
• 本結果により、直線楔に対するニュートンの極超音流理論が、圧縮性Euler方程式の厳密な極限として裏付けられ、多次元超臨界保存則における測度解の必要性が強調される。