[論文レビュー] Hypersurface arrangements and a global Brieskorn-Orlik-Solomon theorem

Clément Dupont|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、滑らかな射影的複素多様体内の超曲面配置の補集合のコホロジーのグローバルモデルを構築し、正則交叉除法の上でデリーニの結果を一般化する。対数形式と重みフィルトレーションを用いて、オルリック＝ソロモン代数をグローバルな設定に拡張し、ワonderfulコンパクト化と曲線上の配置空間との関係を確立する。

ABSTRACT

We give a model for the cohomology of the complement of a hypersurface arrangement inside a smooth projective complex variety. This generalizes the case of normal crossing divisors, which is due to P. Deligne as a by-product of the mixed Hodge theory of smooth complex varieties. Our model is a global version of the Orlik-Solomon algebra, which computes the cohomology of the complement of a union of hyperplanes in an affine space. The main tool is the complex of logarithmic forms along a hypersurface arrangement, and its weight filtration. Connections with wonderful compactifications and the configuration spaces of points on curves are also studied.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的多様体内の正則交叉除法の上でデリーニの混合ホッジ理論の結果を、任意の超曲面配置へ一般化すること。
• 対数微分形式を用いて、超曲面配置の補集合のコホモロジー的モデルを構築すること。
• 元々アフィン空間内の超平面配置のための古典的オルリック＝ソロモン代数を、グローバルかつ幾何的な設定へ拡張すること。
• 超曲面配置のコホモロジー・モデルとワonderfulコンパクト化、および代数的曲線上の配置空間との関係を調査すること。

提案手法

• 超曲面配置に沿った対数微分形式の複体を、中心的な代数的道具として用いる。
• 対数複体に重みフィルトレーションを適用し、コホモロジー的情報を抽出する。
• 射影的設定で補集合のコホモロジーを捉えるグローバル版のオルリック＝ソロモン代数を構成する。
• 配置のストラトゥムに沿ったブ lows-up を用いて、コホモロジー・モデルとワonderfulコンパクト化の幾何的関係を確立する。
• 対数 de Rham 複体と曲線上の点の配置空間との間の相互作用を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オルリック＝ソロモン代数は、アフィン空間内の超平面配置を超えて、射影的多様体内の任意の超曲面配置へどのように一般化できるか？
• RQ2 対数形式にかかる重みフィルトレーションは、補集合のコホモロジーを計算する際に果たす役割は何か？
• RQ3 ワonderfulコンパクト化は、超曲面配置のコホモロジー・モデルからどのように自然に生じるか？
• RQ4 曲線上の点の配置空間は、超曲面配置の補集合のコホモロジーとどのように関係するか？

主な発見

• 対数微分形式と重みフィルトレーションを用いて、超曲面配置の補集合のグローバルコホモロジー・モデルが構成された。
• このモデルは、滑らかな射影的複素多様体内の任意の超曲面配置へ、デリーニの正則交叉除法に関する結果を一般化する。
• 補集合のコホモロジーが、対数 de Rham 複体から導かれるある複体のコホモロジーと同型であることが示された。
• ワonderfulコンパクト化は、対数形式の重みフィルトレーションの構造を反映する自然なコンパクト化として出現する。
• このモデルにより、超曲面補集合のコホモロジーと代数的曲線上の配置空間との間の幾何的関係が確立された。