[論文レビュー] Hypersurface complements, Milnor fibers and minimality of arrangements

Alexandru Dimca|ArXiv.org|Nov 27, 2000

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、斉次多項式の勾配写像の次数とその超曲面補集合のベッチ数の間の位相的関係を確立し、配置の補集合の $n$-次ベッチ数が勾配写像の次数に等しいことを証明する。モース理論と極曲線を用いて、補集合が最小的であることを示し、ミルナー多様体のホモトピー的記述を提供する。オルリック＝テラオの結果を拡張し、オイラー乗数と構成可能不変量を用いて配置の位相を拡張する。

ABSTRACT

We describe a new relation between the topology of hypersurface complements, Milnor fibers and degree of gradient mappings. The main tools are polar curves and the affine Lefschetz theory developped by H. Hamm and A. Némethi. In the special case of the hyperplane arrangements, we strengthen some results due to Orlik and Terao (see Math. Ann. 301(1995)) and obtain an independant proof for the minimality of hyperplane arrangements (see Randell math.AT/0011101 for another proof of this result).

研究の動機と目的

• 斉次多項式の勾配写像の次数とその超曲面補集合の位相との関係を明らかにすること。
• ホモトピー型とベッチ数の等式を用いて、超平面配置の補集合の最小性を確立すること。
• ミルナー多様体に関するオリック＝テラオの結果を拡張し、ホモトピー型に付加される $n$-セルの数が、多様体上でのモース関数の臨界点の数に丁度一致することを証明すること。
• 本質的配置の位相的特徴付けを、$n$-次ベッチ数の非零性を用いて行うこと。

提案手法

• 定義された超平面 $H$ に対して、$D(h) \setminus H$ のオイラー乗数と関係づけるために、$h$ を非特異な斉次多項式として、写像 $\mathrm{grad}(h) : D(h) \to \mathbb{P}^n$ を用いる。
• 極曲線を用いて、$D(h) \cap H$ に付加される $n$-セルの数を計算し、$\deg(\mathrm{grad}(h)) = (-1)^n \chi(D(h) \setminus H)$ を得る。
• 関数 $g(x) = Q(x)\overline{Q}(x)$ を用いて、ミルナー多様体 $F = \{f = 1\}$ にモース理論を適用し、$g$ が $|C(g)|$ 個の臨界点を持つモース関数であることを示す。
• アフィン・レフシェッツ定理と余次元に関する帰納法を用いて、補集合 $M = D(Q)$ がすべての $k$ に対して $b_k(M)$ 個の $k$-セルを持つ CW 複体とホモトピー同値であることを証明し、最小性を確立する。
• 削除・制限技術によるオイラー乗数とベッチ数の加法性を適用し、$\chi(D(h))$ を制限における勾配写像の次数の交互和として計算する。
• 臨界集合における $a_h$-正則性条件と層構造理論を用いて、横断性を保証し、臨界集合内の列の極限挙動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非特異な斉次多項式 $h$ で定義される超曲面の補集合 $D(h)$ のベッチ数と、勾配写像 $\mathrm{grad}(h)$ の次数とは、どのように関係しているか？
• RQ2 超平面配置の補集合が、各 $k$ に対して正確に $b_k$ 個の $k$-セルを持つ CW 構造を持つという意味で最小的であるための条件は何か？
• RQ3 モース理論を用いてミルナー多様体 $F$ に付加される $n$-セルの数は、関数 $g(x) = Q(x)\overline{Q}(x)$ の臨界点の数によって正確に特定できるか？
• RQ4 配置のどのような位相的条件が $b_n(D(Q)) > 0$ を保証し、それと本質的配置との関係は何か？
• RQ5 ミルナー多様体の重み付き等変オイラー多項式は、配置のラティスの組合せ論とどのように関係するか？

主な発見

• 超平面配置の補集合 $D(Q)$ の $n$-次ベッチ数は、勾配写像 $\mathrm{grad}(Q)$ の次数に等しく、すなわち $b_n(D(Q)) = \deg(\mathrm{grad}(Q))$ である。
• 補集合 $M = D(Q)$ は最小的である：すべての $k \in \mathbb{N}$ に対して、$k$-セルの数が $k$-次ベッチ数に等しい CW 複体とホモトピー同値である。
• 一般の斉次多項式 $f$ のミルナー多様体 $F$ は、関数 $g(x) = Q(x)\overline{Q}(x)$ の臨界集合 $C(g)$ の $|C(g)|$ 個の $n$-セルを $F \cap N$ に付加することで得られる CW 複体とホモトピー同値である。
• 配置が本質的であることは、$\deg(\mathrm{grad}(Q)) > 0$ であること、$b_n(D(Q)) > 0$ であること、および $\mathrm{grad}(Q)$ が支配的であることと同値である。
• 任意の $\mathbb{P}^n$ 内の構成可能集合に対して、オイラー乗数は、定義多項式の一般な制限における勾配写像の次数の交互和として与えられる。
• 多項式 $f$ が $\mathcal{A}'$-一般であるとき、ミルナー多様体 $F$ の重み付き等変オイラー多項式は、配置の交差ラティスから組合せ論的に計算可能である。