[論文レビュー] Hypersurface exceptional singularities

Shihoko Ishii, Yuri Prokhorov|ArXiv.org|Oct 23, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、問題を重み付き斉次の場合に還元することで、複素空間内の超曲面特異点の例外的特異点を分類し、そのような特異点が有限個であることを証明する。3次元におけるすべての例外的Brieskorn型特異点を完全に特定し、非退化な重み付き斉次関数とそれらに関連する不変量を用いて、このクラスの完全な分類を確立する。

ABSTRACT

This paper studies hypersurface exceptional singularities in $\mathbb C^n$ defined by non-degenerate function. For each canonical hypersurface singularity, there exists a weighted homogeneous singularity such that the former is exceptional if and only if the latter is exceptional. So we study the weighted homogeneous case and prove that the number of weights of weighted homogeneous exceptional singularities are finite. Then we determine all exceptional singularities of the Brieskorn type of dimension 3.

研究の動機と目的

• 重み付き斉次還元を用いて、複素n次元空間内の超曲面の例外的特異点を分類すること。
• 重み付き斉次な例外的特異点の重みの数が有限であることを証明すること。
• 3次元におけるすべてのBrieskorn型例外的特異点を特定すること。
• 非退化関数とそれらに関連するニュートン多面体を用いた、例外的特異点の基準を確立すること。
• 特徴的超曲面特異点とその重み付き斉次類似物との関係を、例外的性質を保つように結びつけること。

提案手法

• 変形理論とトーリック幾何学を用いて、一般の超曲面特異点の研究を重み付き斉次の場合に還元する。
• ニュートン非退化性条件に関して非退化関数の理論を適用する。
• 重み付き斉次構造を用いて、特徴的因子と歪みを定義し計算する。
• 特異点が例外的であるための必要十分条件として、すべての歪みが正であることの基準を適用する。
• 指数と非例外的であるための条件を用いて、Brieskorn特異点の分類を実行する。
• 例外的特異点が、特定の吹き上げにおいて特徴的因子が有効でない場合に一致することを利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C^nにおける重み付き斉次な超曲面特異点の中で、どのものが例外的であるか？
• RQ2 重み付き斉次の場合に、例外的特異点を定義する異なる重み系はいくつ存在するか？
• RQ3 3次元におけるすべての例外的Brieskorn型特異点の完全なリストは何か？
• RQ4 非退化関数がどのような条件下で例外的特異点を定義するか？
• RQ5 特徴的超曲面特異点の例外的性質は、その重み付き斉次変形とどのように関係するか？

主な発見

• 重み付き斉次な例外的特異点を生成する重み系は、有限個である。
• 3次元におけるすべての例外的Brieskorn型特異点は、完全に分類され、明示的にリストアップされている。
• 特徴的超曲面特異点が例外的であるための必要十分条件は、その関連する重み付き斉次特異点が例外的であることである。
• 例外的性質は、特異点の解消における歪みの正の性質によって決定される。
• 3次元Brieskorn特異点が例外的であるかどうかの分類は、指数が特定の算術的条件を満たすかどうかに依存する。
• 孤立特異点を持つ非退化関数は、関連するニュートン多面体が特徴的因子に関して正の性質を満たす場合に限り、例外的である。