[論文レビュー] Hypersurfaces in H^{n+1} and conformally invariant equations: the generalized Christoffel and Nirenberg problems

José M. Espinar, José A. Gálvez+1 more|ArXiv.org|Jun 15, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 48被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、球面 $\mathbb{S}^n$ 上の conformal な PDE と双曲空間 $\mathbb{H}^{n+1}$ 内の超曲面との間の深い対応関係を確立し、$\mathbb{H}^{n+1}$ 内の一般化されたクリスティオフェル問題が、$\mathbb{S}^n$ 上のスカラー曲率を指定するニレングェル問題と同値であることを示している。本稿では双曲的曲率半径を導入し、双曲的ガウス写像を用いて、$\mathbb{S}^n$ 上の conformal 度量のショウテンテンソルと $\mathbb{H}^{n+1}$ 内の超曲面の主曲率を結びつける。さらに、$\mathbb{H}^{n+1}$ 内の定数ウィンガルテン曲率超曲面が必ず球面であることを証明している。

ABSTRACT

Our first objective in this paper is to give a natural formulation of the Christoffel problem for hypersurfaces in $H^{n+1}$, by means of the hyperbolic Gauss map and the notion of hyperbolic curvature radii for hypersurfaces. Our second objective is to provide an explicit equivalence of this Christoffel problem with the famous problem of prescribing scalar curvature on $§^n$ for conformal metrics, posed by Nirenberg and Kazdan-Warner. This construction lets us translate into the hyperbolic setting the known results for the scalar curvature problem, and also provides a hypersurface theory interpretation of such an intrinsic problem from conformal geometry. Our third objective is to place the above result into a more general framework. Specifically, we will show how the problem of prescribing the hyperbolic Gauss map and a given function of the hyperbolic curvature radii in $H^{n+1}$ is strongly related to some important problems on conformally invariant PDEs in terms of the Schouten tensor. This provides a bridge between the theory of conformal metrics on $§^n$ and the theory of hypersurfaces with prescribed hyperbolic Gauss map in $\H^{n+1}$. The fourth objective is to use the above correspondence to prove that for a wide family of Weingarten functionals $W(\k_1,..., \k_n)$, the only compact immersed hypersurfaces in $H^{n+1}$ on which $W$ is constant are round spheres.

研究の動機と目的

• 双曲空間 $\mathbb{H}^{n+1}$ 内の超曲面に対するクリスティオフェル問題を、双曲的ガウス写像を用いて定式化し、ユークリッド的曲率半径の自然な置き換えとして双曲的曲率半径を導入すること。
• 双曲空間 $\mathbb{H}^{n+1}$ 内のクリスティオフェル問題と、共形度量に対してスカラー曲率を指定するニレングェル問題との明示的な同値性を確立すること。
• ショウテンテンソルを含む共形不変 PDE と、双曲的ガウス写像および双曲的曲率半径の関数を指定する問題を関連付けることで、この対応関係をより広い枠組みに位置づけること。
• この対応関係を応用し、広いクラスのウィンガルテン関数に対する、$\mathbb{H}^{n+1}$ 内のコンパクトな埋め込み超曲面で $\mathcal{W}$ が定数となるものについて、それが必ず球面であることを証明すること。

提案手法

• 双曲空間 $\mathbb{H}^{n+1}$ 内のユークリッド的ガウス写像の自然な類似物として、超曲面 $M^n$ から $\mathbb{S}^n$ への双曲的ガウス写像 $G: M^n \to \mathbb{S}^n$ を導入すること。
• 主曲率 $\kappa_i$ を用いて、$\mathcal{R}_i = 1/|1 - \kappa_i|$ と定義される双曲的曲率半径を導入し、$\mathbb{H}^{n+1}$ 内のクリスティオフェル問題を一般化すること。
• $\mathbb{S}^n$ 上の共形度量 $g = e^{2\rho}g_0$ と、双曲的ガウス写像および曲率半径が指定された $\mathbb{H}^{n+1}$ 内の超曲面との間の前後対応関係を構築すること。
• ショウテンテンソルの固有値 $\lambda_i$ と $\mathbb{H}^{n+1}$ 内の超曲面の主曲率 $\kappa_i$ の間の関係式 $2\lambda_i = \frac{\kappa_i + 1}{\kappa_i - 1}$ を用いて関係を確立すること。
• 空間形式におけるコダッチ方程式およびウィンガルテン表面論を用いて、ウィンガルテン関数 $\mathcal{W}(\kappa_1, \dots, \kappa_n)$ が定数であり、その偏導関数に符号条件を満たす場合、超曲面は完全に umbilical であることを示すこと。
• $\mathbb{H}^{n+1}$ 内の超曲面の水平曲面計量を用いた埋め込みにより、$M^n$ 上の計量 $g^*$ が局所的に共形平坦であり、かつ大域的に正しく定義されることを証明し、そのショウテンテンソルの固有値が $1/(4\lambda_i)$ であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なガウス写像が存在しないことから、ユークリッド空間における古典的クリスティオフェル問題が双曲空間 $\mathbb{H}^{n+1}$ 内の超曲面へ自然に拡張可能であるか。
• RQ2 共形度量が $\mathbb{S}^n$ 上に与えられたとき、ショウテンテンソルと主曲率を結びつける幾何的対応関係が、$\mathbb{S}^n$ 上の共形幾何と $\mathbb{H}^{n+1}$ 内の超曲面との間で存在するか。
• RQ3 $\mathbb{S}^n$ 上でスカラー曲率を指定するニレングェル問題が、$\mathbb{H}^{n+1}$ 内で曲率半径を指定する幾何的問題とどの程度対応するか。
• RQ4 ウィンガルテン関数 $\mathcal{W}(\kappa_1, \dots, \kappa_n)$ にどのような条件下で、$\mathbb{H}^{n+1}$ 内のコンパクトな埋め込み超曲面で $\mathcal{W}$ が定数となるものがあると、それが必ず球面となるか。
• RQ5 $\mathbb{S}^n$ 上の共形度量のショウテンテンソルの固有値と、それに対応する $\mathbb{H}^{n+1}$ 内の超曲面の主曲率との間にはどのような関係があるか。

主な発見

• 一般化されたクリスティオフェル問題が、双曲的ガウス写像および双曲的曲率半径を介した幾何的対応関係を通じて、$\mathbb{S}^n$ 上でスカラー曲率を指定するニレングェル問題と同値である。
• $\mathbb{S}^n$ 上の共形度量 $g = e^{2\rho}g_0$ のショウテンテンソルの固有値 $\lambda_i$ と、それに対応する $\mathbb{H}^{n+1}$ 内の超曲面の主曲率 $\kappa_i$ との間には、$2\lambda_i = \frac{\kappa_i + 1}{\kappa_i - 1}$ という関係がある。
• $\mathbb{R}^n$ の開集合 $D$ における任意の滑らかな関数 $\mathcal{W}: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ で、$\kappa_i = \kappa_j$ のとき $\frac{\partial \mathcal{W}}{\partial \kappa_i} \frac{\partial \mathcal{W}}{\partial \kappa_j} > 0$ を満たすものに対して、$\mathbb{H}^{n+1}$ 内のコンパクトな埋め込み超曲面で $\mathcal{W}$ が定数となるものは、すべて球面に限る。
• 2次元の場合、$\mathbb{S}^2$ 上の共形度量のショウテンテンソルの固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ が $\mathcal{W}(\lambda_1, \lambda_2) = 0$ を満たし、$\lambda_1 = \lambda_2$ のとき $\frac{\partial \mathcal{W}}{\partial \lambda_1} \frac{\partial \mathcal{W}}{\partial \lambda_2} > 0$ を満たすならば、その計量は線形分数変換による標準計量の引き戻しである。
• $\mathbb{H}^{n+1}$ 内の超曲面の水平曲面計量は、$M^n$ 上に大域的に定義され、局所的に共形平坦な計量を誘導する。その計量のショウテンテンソルの固有値は、$\mathbb{S}^n$ 上の共形度量に対応するショウテンテンソルの固有値 $\lambda_i$ を用いて $1/(4\lambda_i)$ と表される。
• $\mathbb{S}^n$ 上の共形度量と $\mathbb{H}^{n+1}$ 内の超曲面との間の対応関係は、共形埋め込みの選択に依存せず、計量 $g^*$ が $M^n$ 上で正しく定義されることを保証する。