[論文レビュー] Hypersurfaces with degenerate duals and the Geometric Complexity Theory Program

J. M. Landsberg, Laurent Manivel+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、双対多様体の次元が高々 $k$ である $
\mathbb{P}^{N-1}$ 内の $d$ 次超曲面の族に対して明示的な定義方程式を提示し、それらを応用して、Mulmuley-Sohoni の軌道閉包 $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ が、双対多様体の次元が高々 $2n-2$ である $n$ 次超曲面の族の一つの既約成分であることを示している。さらに、永久行列式の境界複雑度 $\overline{dc}(\operatorname{perm}_m)$ に対して二次の下界 $\overline{dc}(\operatorname{perm}_m) \geq m^2/2$ を確立し、幾何的複雑度理論における重要な未解決問題を解決している。

ABSTRACT

We determine set-theoretic defining equations for the variety of hypersurfaces of degree d in an N-dimensional complex vector space that have dual variety of dimension at most k. We apply these equations to the Mulmuley-Sohoni variety, the GL_{n^2} orbit closure of the determinant, showing it is an irreducible component of the variety of hypersurfaces of degree $n$ in C^{n^2} with dual of dimension at most 2n-2. We establish additional geometric properties of the Mulmuley-Sohoni variety and prove a quadratic lower bound for the determinental border-complexity of the permanent.

研究の動機と目的

• $\mathbb{P}^{N-1}$ 内の $d$ 次超曲面で、双対多様体の次元が高々 $k$ であるものの族である $\mathrm{Dual}_{k,d,N}$ の集合論的定義方程式を特定すること。
• これらの方程式を Mulmuley-Sohoni の多様体 $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ に適用し、それが $\mathrm{Dual}_{2n-2,n,n^2}$ の既約成分であることを示すこと。
• 以前の線形下界を改善する、境界複雑度 $\overline{dc}(\operatorname{perm}_m)$ に対する二次の下界を証明すること。
• $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ の理想に属する明示的な $GL_{n^2}$-加群 $V_n$ を構成し、この軌道閉包に対する初めて知られる明示的方程式を提供すること。
• 軌道閉包 $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ が $\mathrm{End}(M_n(\mathbb{C})) \cdot [\det_n]$ を真に含むこと、つまり $dc$ と $\overline{dc}$ の間にギャップが存在する可能性を示すこと。

提案手法

• ハッセ行列のランクと双対多様体の次元の関係を明らかにするために、カッツ次元公式を用いる。
• $\mathrm{Sub}_{k+2}(S^d W^*)$（$k$ 次多様体の錐である超曲面をパラメトライズする）の接空間を計算するために、Kempf-Weyman の特異点解消を適用する。
• $S^n(M_n(\mathbb{C}))^*$ 上の $n(n-1)$ 次の斉次多項式として、指定された最高ウェイトを持つ $GL_{n^2}$-加群 $V_n$ を構成し、軌道閉包の定義方程式を定義する。
• ハッセ行列の行列式展開における $\epsilon^2$ 項を分析することで、$\mathrm{Dual}_{k,d,N}$ の接空間に対する制約を導出し、それが部分空間多様体の接空間に含まれることを示す。
• 極化と対称テンソル分解を用いて、ハッセ二次形式を内在的に $H_{P,w}(X) = P(w,\dots,w,X,X)$ として表現する。
• 軌道閉包と表現論の理論を応用し、$\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ が $V_n$ の零点集合の既約成分として特定されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{P}^{N-1}$ 内の $d$ 次超曲面で、双対多様体の次元が高々 $k$ であるものの族 $\mathrm{Dual}_{k,d,N}$ の集合論的定義方程式は何か？
• RQ2 Mulmuley-Sohoni の軌道閉包 $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ は、$\mathrm{Dual}_{2n-2,n,n^2}$ の既約成分か？
• RQ3 既知の線形下界を改善して、境界複雑度 $\overline{dc}(\operatorname{perm}_m)$ に対して二次の下界を確立できるか？
• RQ4 軌道閉包 $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ は、$\mathrm{End}(M_n(\mathbb{C})) \cdot [\det_n]$ の像を真に含むか？
• RQ5 $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ に消える正則関数のイデアルの構造は何か？ また、そのイデアル内に明示的な $GL_{n^2}$-加群を構成できるか？

主な発見

• 多様体 $\mathrm{Dual}_{k,d,N}$ は、部分空間多様体 $\mathrm{Sub}_{k+2}(S^d \mathbb{C}^N)$ を、その定義方程式がハッセ行列のランク条件から得られる、削除された既約成分として持つことが示された。
• Mulmuley-Sohoni 多様体 $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ は、双対多様体の次元が高々 $2n-2$ である $n$ 次超曲面の族 $\mathrm{Dual}_{2n-2,n,n^2}$ の既約成分であることが証明された。
• 以前の最良の線形下界を改善し、二次の下界 $\overline{dc}(\operatorname{perm}_m) \geq m^2/2$ が確立された。
• $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ の理想に属する明示的な $GL_{n^2}$-加群 $V_n$ が構成され、最高ウェイト $n(n-1)(n-2)\omega_1 + (2n^2 - 4n - 1)\omega_2 + 2\omega_{2n+1}$ を持つ。これにより、この軌道閉包に対する初めての既知の明示的方程式が得られた。
• $n$ が奇数の場合、$\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ の境界に属するが $\mathrm{End}(M_n(\mathbb{C})) \cdot [\det_n]$ に含まれない、コドメイン1の $GL_{n^2}$-軌道を示した。これにより、ある多項式 $P_m$ に対して $\overline{dc}(P_m) < dc(P_m)$ であることが証明された。
• 接空間の計算により、$P \in \mathrm{Sub}_{k+2}(S^d W^*)$ に対して $\hat{T}_{[P]}\mathrm{Dual}_{k,d,N} \subseteq S^d U^* \oplus S^{d-1}U^* \otimes V^*$ が成り立ち、部分空間多様体が既約成分であることが確認された。