[論文レビュー] Hypersurfaces with small extrinsic radius or large $\\lambda_1$ in Euclidean spaces

Erwann Aubry, Jean-François Grosjean+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{R}^{n+1}$ 内の超曲面が Reilly または Hasanis-Koutroufiotis 不等式に対してほぼ極値的である——つまり、外在的半径が小さいか、第一固有値 $\lambda_1$ が大きい——場合に、平均曲率が $p>n$ に対して $L^p$-有界であると、その超曲面は距離的におよびスペクトル的に球面に近いことを確立している。さらに、第二基本形式に $q>n$ に対して $L^q$-有界性があると、Lipschitz 距離でも球面に近くなるが、$q\leq n$ の場合、微分同相的であるとは限らない。これらの結果は、スペクトル的および幾何的ピンチングの下での球面に類似した超曲面の安定性定理を一般化する。

ABSTRACT

We prove that hypersurfaces of $\\R^{n+1}$ which are almost extremal for the Reilly inequality on $\\lambda_1$ and have $L^p$-bounded mean curvature ($p>n$) are Hausdorff close to a sphere, have almost constant mean curvature and have a spectrum which asymptotically contains the spectrum of the sphere. We prove the same result for the Hasanis-Koutroufiotis inequality on extrinsic radius. We also prove that when a supplementary $L^q$ bound on the second fundamental is assumed, the almost extremal manifolds are Lipschitz close to a sphere when $q>n$, but not necessarily diffeomorphic to a sphere when $q\\leqslant n$.

研究の動機と目的

• Reilly または Hasanis-Koutroufiotis 不等式において等号にほぼ達している超曲面の幾何学的およびスペクトル的安定性を調査すること。
• このような超曲面が Gromov-Hausdorff、Lipschitz、またはスペクトル的意味で球面に近いとされる、曲率の積分可能性条件を同定すること。
• 平均曲率の $L^p$-有界性と第二基本形式の $L^q$-有界性を組み込むことで、以前の安定性結果を拡張すること。
• ほぼ極値的超曲面の漸近的スペクトル挙動を解析し、標準球面のスペクトルへの収束を示すこと。

提案手法

• 極値的超曲面が球面であることを特徴付ける中心的道具として、Reilly 不等式 $\lambda_1 \leq n\|H\|_2^2$ と Hasanis-Koutroufiotis 不等式 $\|H\|_2 R_{\text{ext}} \geq 1$ を用いる。
• 平均曲率および幾何的量の $L^p$-ノルムに基づいて、近似極値性を定量化するためのピンチング条件 $(P_{p,\varepsilon})$、$(R_{p,\varepsilon})$、$(\Lambda_{p,\varepsilon})$ を導入する。
• Moser の反復法とSobolev 不等式を用いて、固有関数の $L^\infty$ ノルムを制御し、それらをスペクトル的および曲率の有界性と関連付ける。
• 元の多様体上の $L^2$-ノルムを近似領域 $\Omega_{i,\eta,\varepsilon}$ 上のノルムに結びつけるために、切断関数 $\psi_\varepsilon$ を用いて、ほぼ球面的な超曲面の幾何をモデル化する近似領域の列を構成する。
• 最小最大原理を用いて、元の超曲面の固有値と近似領域の固有値を比較し、$\varepsilon \to 0$ の際にスペクトル収束を証明する。
• 局所チャート上での $y \mapsto y^d$ の写像を用いた被覆構成により、二重球面に類似したスペクトルを持つ列を生成し、$q \leq n$ の場合に微分同相的ではないがスペクトル的に収束する例を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Reilly 不等式における近似極値性（$\lambda_1 \approx n\|H\|_2^2$）が、Gromov-Hausdorff または Lipschitz 位相で超曲面が球面に近いことを示す条件は何か？
• RQ2 平均曲率の $L^p$-有界性（$p>n$）と第二基本形式の $L^q$-有界性（$q>n$）が、ほぼ極値的超曲面の距離的およびスペクトル的安定性に与える影響は何か？
• RQ3 近似極値的超曲面が Hausdorff または Lipschitz 距離では球面に近いが、微分同相的でないことがある場合、そのような状況が生じる曲率積分可能性条件は何か？
• RQ4 ピンチングパラメータ $\varepsilon \to 0$ の際に、ほぼ極値的超曲面のスペクトルが標準球面のスペクトルにどの程度収束するか？
• RQ5 第二基本形式の $L^q$-ノルムが、超曲面が球面に微分同相的であるかどうかを決定する役割を果たすのはどのような場合か？

主な発見

• $q>n$ のとき、平均曲率が $p>2$ に対して $L^p$-有界であり、第二基本形式が $L^q$-有界であれば、ほぼ極値的超曲面は半径 $1/\|H\|_2$ の球面に対して $C\varepsilon^\alpha$-Hausdorff 距離で近い。ここで $\alpha = \alpha(q,n)$ である。
• このような超曲面の平均曲率は、すべての $r \in [1,q)$ に対して $L^r$-ノルムでほぼ定数であり、$\||H| - \|H\|_2\|_r \leq C\varepsilon^\beta\|H\|_2$ を満たす。ここで $\beta = \alpha(q-r)/(r(q-1))$ である。
• 任意の固定された半径 $r>0$ に対して、近似球面上の中心からの距離 $r/\|H\|_2$ の球体の正規化体積は、相対誤差 $\eta$ 以内で、対応する球帽の体積に一様に収束する。
• $q>n$ のとき、超曲面は球面に Lipschitz 距離で近いが、$q\leq n$ の場合、Hausdorff 距離で近いとしても、球面に微分同相的でない可能性がある。
• ほぼ極値的超曲面上のラプラシアンのスペクトルは、漸近的に標準球面のスペクトルを含み、$\varepsilon \to 0$ の際に固有値が $\mathbb{S}^n$ の固有値に収束する。
• 局所チャート上での $y \mapsto y^d$ の写像による構成により、$\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n-2} \times [0,\pi/2]$ の二重コピーのスペクトルに収束する超曲面の列が得られ、$q\leq n$ の場合にスペクトル収束が微分同相的であることを示さないことを示している。