[論文レビュー] Hysteresis, Avalanches, and Noise: Numerical Methods

Matthew C. Kuntz, Olga Perković+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 1998

Theoretical and Computational Physics被引用数 45

ひとこと要約

本稿では、大規模なゼロ温度ランダム場イジング模型のシミュレーションを可能にする2つの効率的な数値アルゴリズム—ソート済みリストとビットベースのストレージ—を提示している。これにより、最大10億スピンのシミュレーションが可能となり、計算量はO(N log N)、メモリ使用量は最大96倍まで削減される。これにより、臨界指数の正確な抽出と、臨界不純度R_c ≈ 2.16近辺でのフラクタルなアバランチダイナミクスの観察が可能となる。

ABSTRACT

In studying the avalanches and noise in a model of hysteresis loops we have developed two relatively straightforward algorithms which have allowed us to study large systems efficiently. Our model is the random-field Ising model at zero temperature, with deterministic albeit random dynamics. The first algorithm, implemented using sorted lists, scales in computer time as O(N log N), and asymptotically uses N (sizeof(double)+ sizeof(int)) bits of memory. The second algorithm, which never generates the random fields, scales in time as O(N \log N) and asymptotically needs storage of only one bit per spin, about 96 times less memory than the first algorithm. We present results for system sizes of up to a billion spins, which can be run on a workstation with 128MB of RAM in a few hours. We also show that important physical questions were resolved only with the largest of these simulations.

研究の動機と目的

• 従来の限界を超えて、無秩序系におけるヒステリシスとアバランチの大型スケールシミュレーションを可能にすること。
• ゼロ温度ランダム場イジング模型のための、メモリおよび時間効率に優れた数値アルゴリズムの開発。
• 最大10億スピンのシステムをシミュレートすることで、普遍的な臨界指数を正確に抽出すること。
• 臨界不純度R_c近辺でのフラクタルなアバランチ構造とべき乗則分布の観察と特徴付け。
• 研究者がシミュレーションを再現・拡張できるように、オープンソースのコードとツールを提供すること。

提案手法

• ソート済みリストアルゴリズムは、順序付きデータ構造を用いてスピンの反転を追跡し、計算量はO(N log N)、メモリ使用量はN × (sizeof(double) + sizeof(int))に比例する。
• ビットベースのアルゴリズムは、各スピンの反転状態を1ビットのみで保持することで、ソート済みリスト手法と比較してメモリ使用量を約96倍削減する。
• モデルは周期的境界条件を満たすD次元の超立方格子を用い、局所場の符号変化に伴い決定論的にスピンが反転する。
• スピンは、その有効場h_i^eff = J∑s_j + h_i + Hが符号を変える（近隣スピンの反転や外部場H(t)の増加に起因）際に反転する。
• シミュレーションでは、H(t)を-∞から∞へゆっくりと増加させるスキャンを用い、すべてのアバランチとヒステリシスループのダイナミクスを捉える。
• コードはC++の標準テンプレートライブラリを用いて、動的可視化、磁化の追跡、アバランチサイズ分布、相関関数の計算をサポートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元において、有限なアバランチから無限大のアバランチへの遷移が起こる臨界不純度R_cは何か？
• RQ2 臨界点近辺でのアバランチサイズおよび時間分布はどのようにスケーリングされ、関連する臨界指数は何か？
• RQ3 ビットベースのアルゴリズムは、128MBのワークステーションで数時間で10億スピンのシステムをシミュレートできるか？
• RQ4 大きなアバランチのフラクタル次元は3次元空間と比較してどうなっており、その構造的意味は何か？
• RQ5 RがR_cでない場合、相関関数G(x,R)とアバランチサイズ分布D(S,R)はべき乗則からどの程度ずれるか？

主な発見

• ビットベースのアルゴリズムにより、128MBのワークステーションで数時間で10億スピンのシミュレーションが可能となり、O(N log N)の時間計算量と最小限のメモリ使用量を達成した。
• R = 2.3（R_c ≈ 2.16の6%以内）では、大きなアバランチが複雑で枝分かれした構造を示し、穴が時間とともに埋まるため、3よりわずかに小さいフラクタル次元を示唆している。
• アバランチサイズ分布D(S,R)は、R_c近辺でべき乗則に従い、指数τ̃ ≈ 1.5となる。これは実験的バーカウゼンノイズ観測と整合的である。
• 相関関数G(x,R)は、小距離ではべき乗則の減衰を示すが、RがR_cでない場合には大距離でその振る舞いが逸脱し、臨界性から離れた非ユニバーサルな振る舞いを示している。
• ヒステリシスループには、R_c ≈ 2.16でマクロなジャンプが現れ、これが無限大のアバランチと臨界スケーリングの始まりを示している。
• ソート済みリストとビットベースの両アルゴリズムともO(N log N)のスケーリングを示すが、ビットベース手法はメモリ使用量を約96倍削減し、大規模シミュレーションを可能にした。