[論文レビュー] Δ(i)/GI/1: A New Queueing Model For Transitory Queueing Systems

Harsha Honnappa, Rahul Jain+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2012

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、到着時間が分布Fからのi.i.d.標本である転換的システムのための新しいモデルΔ(i)/GI/1キューを導入する。到着時刻は順序統計量を形成する。スコロホド反射およびブラウン運動ブリッジ過程を用いて、フロイドおよび拡散極限を確立し、M1位相での弱収束を示すが、J1位相では成立しない。自由、反射、ゼロ拡散過程の間の運用レジームの切り替えが観察される。

ABSTRACT

We introduce the {\Delta}(i)/GI/1 queue, a new queueing model. In this model, customers from a given population independently sample a time to arrive from some given distribution F. Thus, the arrival times are an ordered statistics, and the inter-arrival times are differences of consecutive ordered statistics. They are served by a single server which provides service according to a general distribution G, with independent service times. The exact model is analytically intractable. Thus, we develop fluid and diffusion limits for the various stochastic processes, and performance metrics. The fluid limit of the queue length is observed to be a reflected process, while the diffusion limit is observed to be a function of a Brownian motion and a Brownian bridge process, and is given by a 'netput' process and a directional derivative of the Skorokhod reflected fluid netput in the direction of a diffusion refinement of the netput process. We also observe what may be interpreted as a transient Little's law. Sample path analysis reveals various operating regimes where the diffusion limit switches between a free diffusion, a reflected diffusion process and the zero process, with possible discontinuities during regime switches. The weak convergence is established in the M1 topology, and it is also shown that this is not possible in the J1 topology.

研究の動機と目的

• 到着時刻が分布Fからのi.i.d.標本である転換的キューイングシステムをモデル化すること。これにより順序統計量が形成される。
• 解析的に扱いにくいこれらのシステムにおけるキュー長およびパフォーマンス指標の確率的挙動を分析すること。
• キューイングプロセスのフロイド極限および拡散極限を構築し、一時的ダイナミクスを捉えること。
• M1位相での弱収束を確立し、J1位相ではその不可能性を示すこと。
• 拡散極限が自由拡散、反射拡散、ゼロ過程の間を切り替える運用レジームを特定すること。

提案手法

• 到着を分布Fからのi.i.d.標本としてモデル化し、これにより到着時刻が順序統計量を形成する。
• 相互到着時間を連続する順序統計量の差として定義する。
• 一般サービス時間分布Gを有する単一サーバキューを用い、顧客間で独立する。
• スコロホド反射に基づき、キュー長プロセスのフロイド極限を反射プロセスとして導出する。
• 拡散極限をブラウン運動およびブラウン運動ブリッジの関数として確立し、スコロホド反射フロイドネットプットの方向微分を含む。
• M1位相での弱収束を証明し、運用レジーム切り替えに伴う経路的不連続性のため、J1位相では失敗することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 i.i.d.到着時刻が分布Fに従うキューイングシステムにおいて、相互到着時間が順序統計量の差として与えられる場合、どのようにモデル化できるか？
• RQ2 このようなシステムにおけるキュー長プロセスのフロイド極限および拡散極限は何か？
• RQ3 異なる運用レジームにおいて、拡散極限はどのように振る舞い、特に自由、反射、ゼロプロセスの間の遷移においては？
• RQ4 なぜこのモデルではM1位相での弱収束が成立するが、J1位相では成立しないのか？
• RQ5 このキューイングシステムの経路ごとの分析から、一時的リトルの法則のバージョンを導出できるか？

主な発見

• キュー長プロセスのフロイド極限は、スコロホド反射に起因する反射プロセスであり、非負制約を捉えている。
• 拡散極限は、ブラウン運動およびブラウン運動ブリッジの関数として表現され、ネットプットと経路的精緻化の両方の影響を反映している。
• 拡散極限は、自由拡散、反射拡散、ゼロプロセスの間で運用レジーム切り替えを示し、スイッチポイントで不連続性が生じる可能性がある。
• M1位相では弱収束が成立し、これは運用レジーム遷移時の不連続性を許容するが、J1位相では失敗する。
• 経路ごとの分析を通じて、一時的リトルの法則のバージョンが観察され、システム内状態とネットプット、サービス特性が結びつけられる。