[論文レビュー] ICTP Lectures on (Non-)Invertible Generalized Symmetries

Sakura Schäfer‐Nameki|arXiv (Cornell University)|May 29, 2023

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 20

ひとこと要約

一般化されたグローバル対称性を導入し、d≥3 のQFTにおける非可逆対称性に焦点を当て、それらのTQFTとのスタッキングによる構築、theta欠陥と凝縮欠陥、およびSymmetry TFTフレームワーク。

ABSTRACT

What comprises a global symmetry of a Quantum Field Theory (QFT) has been vastly expanded in the past 10 years to include not only symmetries acting on higher-dimensional defects, but also most recently symmetries which do not have an inverse. The principle that enables this generalization is the identification of symmetries with topological defects in the QFT. In these lectures, we provide an introduction to generalized symmetries, with a focus on non-invertible symmetries. We begin with a brief overview of invertible generalized symmetries, including higher-form and higher-group symmetries, and then move on to non-invertible symmetries. The main idea that underlies many constructions of non-invertible symmetries is that of stacking a QFT with topological QFTs (TQFTs) and then gauging a diagonal non-anomalous global symmetry. The TQFTs become topological defects in the gauged theory called (twisted) theta defects and comprise a large class of non-invertible symmetries including condensation defects, self-duality defects, and non-invertible symmetries of gauge theories with disconnected gauge groups. We will explain the general principle and provide numerous concrete examples. Following this extensive characterization of symmetry generators, we then discuss their action on higher-charges, i.e. extended physical operators. As we will explain, even for invertible higher-form symmetries these are not only representations of the $p$-form symmetry group, but more generally what are called higher-representations. Finally, we give an introduction to the Symmetry Topological Field Theory (SymTFT) and its utility in characterizing symmetries, their gauging and generalized charges. Lectures prepared for the ICTP Trieste Spring School, April 2023.

研究の動機と目的

• QFTにおける拓扑演算子としての一般化されたグローバル対称性を動機づけ、定義する。
• 可逆・非可逆対称性の構造を、融合則と高階圏論的言語を含めて説明する。
• TQFTのスタッキングとゲージ化を通じて、d=2、d=3、d=4における非可逆対称性の構成を提示する。
• theta欠陥、凝縮欠陥、および高次元の対称作用の概念を導入する。
• 対称性と一般化された電荷を符号化するフレームワークとして、Symmetry Topological Field Theory（SymTFT）を議論する。

提案手法

• さまざまな位相欠陥のコドメンションの拓扑演算子として対称性とそれらの融合則を説明する。
• 高形式対称性と0形式対称性のゲージ化と、非可逆構造がどのように生じるかを論じる。
• ゲージ化の前にS対称TQFTsと理論をスタッキングして theta欠陥を生み出す方法を説明する。
• 2d RCFTsおよび3d–4dゲージ理論を非可逆対称性生成の具体例として用いる。
• 拓扑欠陥の層構造とそれに伴う融合高次カテゴリフレームワークを導入する。
• SymTFT (d+1) を対称性と一般化された電荷を組織化するツールとして提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スタッキングとゲージ化を通じて高次元のQFTにおいて非可逆対称性はどのように生じるか。
• RQ2 theta欠陥と凝縮欠陥は非可逆対称性の生成においてどのような役割を果たすか。
• RQ3 高次形式対称性と高次群対称性を、群様構造を超えてどのように一般化できるか。
• RQ4 対称性トップ方程式場理論（SymTFT）を対称性と一般化された電荷を符号化するのにどの程度有用か。

主な発見

• 非可逆対称性は、理論をTQFTとスタッキングし対角対称性をゲージ化して theta欠陥を作り出すことによって生成できる。
• theta欠陥は非可逆の融合関係を示し、3dの例では D2(Z2) ⊗ D2(Z2) = 2 D2(Z2) となる。
• 凝縮欠陥は theta欠陳と同値であり、非可逆対称性の普遍的な機構を提供する。
• 非可逆対称性は2d RCFTs、高次元ゲージ理論、分離したゲージ群を持つQFTに存在する。
• 一般化された対称性の高次電荷に対する作用は、単純な群表現よりも高次表現カテゴリーを伴う。
• SymTFTは次元を超えて対称性と一般化された電荷を符号化する普遍的な枠組みを提供する。