[論文レビュー] Ideal closures of Busemann space and singular Minkowski space

P. D. Andreev|ArXiv.org|May 7, 2004

Advanced Differential Geometry Research参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Busemann空間における理想境界の構成の2つの異なるアプローチ——連続関数空間から定まる定数を除いた空間への埋め込みによる粗い理想閉包、および漸近的線分を用いた弱い理想境界——を調査する。粗い境界から弱い境界への連続かつ全射な射影写像が確立され、多くの場合（例えばCAT(0)空間）にあってはこれら2つの閉包が一致するが、非滑らかな単位球面を持つ特異的Minkowski空間では一致しないことが示される。主な貢献は、特異的Minkowski空間におけるBusemann関数が、フラッグ指向列に沿った水平関数の極限として特徴づけられることである。

ABSTRACT

We discuss two different in general natural approaches to the ideal closure and ideal boundary of Busemann nonpositively curved metric space. It is shown that the identity map of the space admits surjective continuation from its coarse ideal closure to the weak one. We consider some situations when these closures coincide, and when they are essentially different. In particular, the singular Minkowski space is studied as flat Busemann space, and some types of its ideal points are described.

研究の動機と目的

• Busemann空間における理想境界の2つの自然な構成法——C*(X)への埋め込みによる粗い閉包と、漸近的線分による弱い閉包——を比較すること。
• これらの2つの閉包が一致する条件と、非滑らかさのある設定下で異なる条件を特定すること。
• 特異的Minkowski空間（単位球面が非滑らかで強く凸である平坦なBusemann空間）における理想境界の構造を分析すること。
• 特異的Minkowski空間におけるBusemann関数を、フラッグ指向列に沿った距離関数の極限として特徴づけること。
• 粗い理想境界から弱い理想境界への射影写像を確立し、その性質を分析すること。

提案手法

• X を C*(X) = C(X)/{定数} への埋め込みの像の境界として、粗い理想境界 ∂cX を定義する。
• 漸近的関係による同値類の集合として、弱い理想境界 ∂wX を定義する。
• X 上の恒等写像を拡張する連続かつ全射な射影写像 Pr: X̄c → X̄w を構成する。
• 方向空間の単位球面の逆ガウス写像を用いて、粗い理想点とノルムの特異点の幾何的特徴を関連付ける。
• 特異的Minkowski空間 A^n におけるBusemann関数を、1次以上のフラッグ指向列に沿った距離関数 d_xk の極限として特徴づける。
• フラッグ指向列のレベルに関する帰納法を用いて、距離関数が水平関数に収束することを証明し、射影写像 pr: FD → ∂cA^n を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Busemann空間の粗い理想閉包と弱い理想閉包が一致する条件は何か？
• RQ2 Minkowski空間の単位球面に特異点が存在する場合、その理想境界の構造にどのような影響を与えるか？
• RQ3 特異的Minkowski空間ではどのような種類のBusemann関数が生じるのか？ また、それらは水平関数の極限としてどのように表現されるか？
• RQ4 射影写像 Pr: X̄c → X̄w は、単位球面のガウス像といった幾何的データとどのように関係するか？
• RQ5 フラッグ指向列が、特異的Minkowski空間における一意な水平関数をどの程度まで決定するか？

主な発見

• X̄c から X̄w への連続かつ全射な射影写像 Pr: X̄c → X̄w が存在し、X 上の恒等写像を拡張する。
• 一般には射影写像 Pr は同相写像ではない。2つの閉包の差は、特異的Minkowski空間で最も顕著に現れる。
• 特異的Minkowski空間では、粗い理想点は単位球面の逆ガウス写像に対応し、幾何的特異点と理想境界の構造を結びつける。
• 特異的Minkowski空間におけるBusemann関数は2通りの方法で生じる：滑らかな方向を持つ線分から、または特異的方角を持つフラッグ指向列の極限から。
• フラッグ指向列から粗い理想境界への射影写像 pr: FD → ∂cA^n は適切に定義されており、方向フラッグと漸近平面にのみ依存する。
• レベル p > 1 のフラッグ指向列によって生成される水平関数は、有界集合上で一様収束する。同じフラッグと漸近平面を持つ列は、同じ水平関数を生成する。