[論文レビュー] Ideal structure and simplicity of the C*-algebras generated by Hilbert bimodules

Tsuyoshi Kajiwara, Claudia Pinzari+1 more|ArXiv.org|Feb 14, 1998

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ひとこと要約

本稿は、C*-代数上のヒルベルト双加群によって生成されるC*-代数における単純性およびイデアル構造の条件を確立する。'(I)-自由性'と'(II)-自由性'を導入し、(I)-自由な双加群が生成するC*-代数は、生成子の選び方に依存しない一意なC*-代数をもたらすことを証明する。さらに、係数代数がX-単純であれば、その代数は単純である。また、(II)-自由な双加群ではイデアルの完全な分類が可能であり、純粋に無限大で非核な単純C*-代数の新しい例が得られる。

ABSTRACT

Pimsner introduced the C*-algebra O_X generated by a Hilbert bimodule X over a C*-algebra A. We look for additional conditions that X should satisfy in order to study simplicity and, more generally, the ideal structure of O_X when X is finite projective. We introduce two conditions: `(I)-freeness' and `(II)-freeness', stronger than the former, in analogy with [J. Cuntz, W. Krieger, Invent. Math. 56, 251-268] and [J. Cuntz, Invent. Math. 63, 25-40] respectively. (I)-freeness comprehend the case of the bimodules associated with an inclusion of simple C*-algebras with finite index, real or pseudoreal bimodules with finite dimension and the case of `Cuntz-Krieger bimodules'. If X satisfies this condition the C*-algebra O_X does not depend on the choice of the generators when A is faithfully represented. As a consequence, if X is (I)-free and A is X-simple, then O_X is simple. In the case of Cuntz-Krieger algebras, X-simplicity corresponds to irreducibility of the defining matrix. If A is simple and p.i. then O_X is p.i., if A is nonnuclear then O_X is nonnuclear. We therefore provide examples of (purely) infinite nonnuclear simple C*-algebras. Furthermore if X is (II)-free, we determine the ideal structure of O_X.

研究の動機と目的

• C*-代数上のヒルベルト双加群によって生成されるC*-代数における単純性およびイデアル構造の一般的基準を確立すること。
• クンツ–クリーガー代数、交叉積、ドプリッヒャー–ロバーツ代数の既存の結果を、一つの枠組みで統一すること。
• クンツ–クリーガーおよびクンツ–クリーガー–ピンスナー構成における条件の強化版として、'(I)-自由性'および'(II)-自由性'を導入すること。
• 双加群Xおよび係数代数Aの性質に基づいて、C*-代数O_Xが単純であるか、純粋に無限大であるか、非核であるかを特徴づけること。
• ヒルベルト双加群の構成を用いて、純粋に無限大で非核で単純なC*-代数の新しい例を提供すること。

提案手法

• 右テンソルC*-圏におけるヒルベルト双加群Xに関連するドプリッヒャー–ロバーツ代数とC*-代数O_Xを同一視する。
• クンツ–クリーガー代数や交叉積に類似したZ-次数構造をO_Xに導入し、同次成分を分析する。
• (I)-自由性のもとで、同次元の稠密*-部分代数が一意なC*-ノルムを持つことを証明し、表現の忠実性を保証する。
• ドプリッヒャー–ロバーツ理論およびクンツ–クリーガー理論の結果を応用し、XからO_Xへの表現を忠実に拡張する。
• 反復的演算子構成およびL_A(X^{igotimes r}_A)内の射影を用いて、ノルムの制御と近似単位元を検証する。
• 相対可換束および外部自己同型の理論を応用し、係数代数が純粋に無限大である場合の純粋無限大性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AをC*-代数とするとき、XがA上の有限生成ヒルベルト双加群であれば、O_Xのイデアル構造はどのように特徴づけられるか？
• RQ2 Xにどのような条件を課すとO_Xが単純になるか？ また、これらの条件はクンツ–クリーガー代数に対する既知の基準をどのように一般化するか？
• RQ3 O_Xが純粋に無限大または非核であるための条件は何か？ また、このようなC*-代数はどのように体系的に構成できるか？
• RQ4 (I)-自由性が、忠実な表現における生成子の選択に依存しないO_Xの構成をどのように保証するか？
• RQ5 AのX-単純性とO_Xの単純性の関係は何か？ また、これはクンツ–クリーガー代数における既約性とどのように関係するか？

主な発見

• Xが(I)-自由であり、AがX-単純であれば、O_Xは単純である。
• Aが純粋に無限大であり、Xが(I)-自由であれば、O_Xは純粋に無限大である。
• Aが非核であり、Xが(I)-自由であれば、O_Xは非核である。
• Aが単純かつ純粋に無限大であり、Xが(I)-自由であれば、O_Xはp.i.（純粋に無限大）である。
• Xが(II)-自由であれば、O_Xのイデアル構造はA内の特定のイデアル類によって完全に決定される。
• XがC*-代数DにおいてA上で忠実な表現をもつ場合、Xが(I)-自由であれば、その表現はO_Xへ一意に拡張される。