[論文レビュー] Idealization of Ganster-Reilly decomposition theorems

Julian Dontchev|ArXiv.org|Jan 5, 1999

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 12被引用数 37

ひとこと要約

この論文は、ガンスターリーの連続性の分解を、理想に基づく位相的構造へと拡張し、位相的理想 ℐ に関する理想付き位相空間間の関数が連続であるための必要十分条件を示している。その条件は、関数が同時に pre-ℐ-連続かつ ℐ-局所閉（ℐ-LC）-連続であることである。主な貢献は、古典的なガンスターリーの定理を理想化した形に一般化し、ℐ-開集合と位相的理想 ℐ に関する局所関数 A* を用いて連続性の分解を拡張したことにある。

ABSTRACT

In 1990, Ganster and Reilly proved that a function is continuous if and only if it is precontinuous and LC-continuous. In this paper we extend their decomposition of continuity in terms of ideals. We show that a function $f \colon (X,τ,{\cal I}) o (Y,σ)$ is continuous if and only if it is pre-I-continuous and I-LC-continuous. We also provide a decomposition of I-continuity.

研究の動機と目的

• 古典的なガンスターリーの連続性分解を理想付き位相空間へ一般化すること。
• 位相的理想の文脈において、ℐ-連続性、pre-ℭ-連続性、ℭ-LC-連続性を定義し、分析すること。
• 理想を用いた連続性の新しい分解定理を確立し、1990年の元の結果を拡張すること。
• 特に Hayashi-Samuels 空間において、さまざまな連続性の種類の関係を調査すること。
• 局所関数 A* と ℭ-開集合を用いた連続性分解の統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• X における適切な理想 ℐ が、遺伝性と有限加法性を満たすとき、(X, τ, ℐ) を理想付き位相空間と定義する。
• 局所関数 A* = {x ∈ X : 任意の U ∈ τ(x) に対して U ∩ A ∉ ℐ} を定義し、閉包、ω-蓄積点、凝縮点を一般化する。
• A ⊆ Int(A*) を満たす集合として ℭ-開集合を導入し、ℭ-連続、pre-ℭ-連続、ℭ-LC-連続関数を定義する。
• {U ∖ I : U ∈ τ, I ∈ ℐ} を生成する位相 τ* と、Kuratowski の閉包作用素 Cl*(A) = A ∪ A* を用いる。
• τ と τ* の一貫性を保証するため、Hayashi-Samuels 条件 (X = X*) を適用する。
• Hayashi-Samuels 空間において、連続性が pre-ℭ-連続性と ℭ-LC-連続性の論理積と同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なガンスターリーの連続性分解を理想付き位相空間へ一般化できるか。
• RQ2 理想付き位相空間において、ℭ-連続性、pre-ℭ-連続性、ℭ-LC-連続性の関係は何か。
• RQ3 pre-ℭ-連続性と組み合わせたとき、ℭ-LC-連続性が連続性を意味する条件は何か。
• RQ4 局所関数 A* は、理想に関する連続性分解の定義において果たす役割は何か。
• RQ5 標準的な理想（例：ℐ = {∅}、ℐ = ℳ、ℐ = 𝒩）では、既知の連続性分解がどのように回復されるか。

主な発見

• Hayashi-Samuels 空間において、関数 f: (X, τ, ℭ) → (Y, σ) が連続であることと、同時に pre-ℭ-連続かつ ℭ-LC-連続であることとは同値である。
• 理想化された分解は、元のガンスターリーの定理を一般化しており、ℐ = {∅} または ℐ = 𝒩 の場合に、それが特殊ケースとして回復される。
• ℭ-局所閉集合のクラスは、U が開集合で V が ⋆-perfect であるような A = U ∩ V として定義され、局所閉集合を一般化する。
• 局所関数 A* は、ℐ = {∅} のとき閉包、ℐ = ℱ のとき ω-蓄積点、ℐ = ℂ のとき凝縮点を一般化する。
• ℐ = ℳ（劣微集合）の場合、ℭ-LC-連続性は、その逆像が無尽欠に近づけられる関数に対応する。
• 本論文は、pre-ℭ-連続性と ℭ-LC-連続性が ℭ-連続性とは独立であり、互いに含まず、逆に含まないことを示す反例を構成している。