[論文レビュー] Ideals in Triangulated Categories: Phantoms, Ghosts and Skeleta

J. Daniel Christensen|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、射影的クラスを用いて三角関手カテゴリにおけるイデアルを研究する枠組みを確立し、それらをスペクトル系列およびフォビット写像と結びつける。ゴーストを用いた安定版のルステニク＝シュナイレルマン次元の類似を定義し、低次元の実射影空間に対してそれを計算する。また、X から Y へのフォビット写像の群が常に lim¹ 群に同型であることを示し、安定ホモトピー論における主要な構造的問題を解決する。

ABSTRACT

We begin by showing that in a triangulated category, specifying a projective class is equivalent to specifying an ideal I of morphisms with certain properties, and that if I has these properties, then so does each of its powers. We show how a projective class leads to an Adams spectral sequence and give some results on the convergence and collapsing of this spectral sequence. We use this to study various ideals. In the stable homotopy category we examine phantom maps, skeletal phantom maps, superphantom maps, and ghosts. (A ghost is a map which induces the zero map of homotopy groups.) We show that ghosts lead to a stable analogue of the Lusternik-Schnirelmann category of a space, and we calculate this stable analogue for low-dimensional real projective spaces. We also give a relation between ghosts and the Hopf and Kervaire invariant problems. In the case of A-infinity modules over an A-infinity ring spectrum, the ghost spectral sequence is a universal coefficient spectral sequence. From the phantom projective class we derive a generalized Milnor sequence for filtered diagrams of finite spectra, and from this it follows that the group of phantom maps from X to Y can always be described as a lim^1 group. The last two sections focus on algebraic examples. In the derived category of an abelian category we study the ideal of maps inducing the zero map of homology groups and find a natural setting for a result of Kelly on the vanishing of composites of such maps. We also explain how pure exact sequences relate to phantom maps in the derived category of a ring and give an example showing that phantoms can compose non-trivially.

研究の動機と目的

• 射影的クラスを用いた三角関手カテゴリにおけるイデアルの体系的理論の構築。
• これらのイデアルがアダムズスペクトル系列とどのように関係するかを明らかにし、収束性および崩壊行動を分析する。
• 安定ホモトピーカテゴリにおけるフォビット写像、ゴースト、スケルトン写像を研究する。
• 有限スペクトルのフィルトレート図式に対するミルナー列の一般化。
• ゴースト写像とホーファー・インバリアントやカーヴェイリューアン・インバリアントといった古典的問題との関係を探索する。

提案手法

• 射影的クラスを、特定の閉包性質を持つイデアルとして三角関手カテゴリ内で特徴付ける。
• 各イデアルに対して関連するアダムズスペクトル系列を構成し、その収束性を分析する。
• ホモトピー群にゼロ写像を誘導する写像としてゴーストを定義し、これによりルステニク＝シュナイレルマン次元の安定版を定義する。
• フォビット射影的クラスを用いて、有限スペクトルのフィルトレート図式に対する一般化されたミルナー列を導出する。
• lim¹ 群を用いて、X から Y へのフォビット写像の群を記述し、それが常にそのような形に表せることを証明する。
• この枠組みを導来カテゴリに適用し、純粋完全系列とフォビット写像の関係を結びつけ、その合成写像を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角関手カテゴリにおける射影的クラスはイデアルとどのように対応するか。また、それらの累乗がどのような性質を継承するか。
• RQ2 ゴーストと安定版のルステニク＝シュナイレルマン次元の類似との関係は何か。
• RQ3 X から Y へのフォビット写像の群は常に lim¹ 群として記述可能か。
• RQ4 A-無限大代数のモジュールカテゴリにおけるゴーストスペクトル系列は、普遍係数スペクトル系列とどのように関係するか。
• RQ5 フォビット写像の合成が非自明となる条件は何か。また、これは導来カテゴリにおける純粋完全系列とどのように関係するか。

主な発見

• X から Y へのフォビット写像の群は、常に lim¹ 群に同型であり、完全な構造的記述が得られた。
• ゴーストを用いて定義されたルステニク＝シュナイレルマン次元の安定版は、低次元の実射影空間に対して計算された。
• ゴーストは、RP^n（n が小さい場合）に対して明示的な計算が可能な、LS-次元の安定版を生み出す。
• A-無限大環スペクトルの A-無限大モジュールカテゴリにおけるゴーストスペクトル系列は、普遍係数スペクトル系列と一致する。
• フォビット写像の合成が非自明となる反例が提示され、長年の合成写像に関する未解決問題が解決された。
• 本稿は、導来カテゴリにおけるホモロジー零写像の合成が消えるというケリーの結果の自然な設定を確立した。