[論文レビュー] Idempotent measures:absolute retracts and soft maps

Taras Radul|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2018

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、$IX$ が絶対リトラクト（AR）であるための必要十分条件として、$X$ が重さが高々 $\omega_1$ 以下の開に生成されるコンパクト空間であることであることを確立し、$X = [0,1]^{\omega_1}$ の場合に、idempotent barycenter 写像 $\beta_{IX}$ が 0-soft でないことを証明している。これは確率測度の性質とは対照的である。本研究では、max-plus 凸性とソフト写像理論を用いて、Ditor-Haydon 型の定理を idempotent 情報に拡張した。

ABSTRACT

We investigate under which conditions the space of idempotent measures is an absolute retract and the idempotent barycenter map is soft.

研究の動機と目的

• idempotent 測度空間 $IX$ が絶対リトラクト（AR）である条件を特定すること。
• 基礎となるコンパクト空間 $X$ の位相的性質と関連して、idempotent barycenter 写像 $\beta_{IX}$ のソフト性を調査すること。
• 古典的な確率測度論の結果（例えば Ditor-Haydon）を、idempotent（Maslov）測度の文脈に拡張すること。
• Fedorchuk が提起した barycentric ソフト性に関する問題の類似形を、idempotent の文脈で解明すること。

提案手法

• 連続写像と埋め込みを保存する idempotent 測度空間 $I$ の関手的構造を用いる。
• max-plus 凸性を $\mathbb{R}^\tau$ 上に適用し、$IX$ をコンパクトな Max-Plus 凸集合として定義・分析する。
• 各座標射影 $f_t$ を用いて $\beta_A(\mu)(t) = \mu(f_t)$ で定義される idempotent barycenter 写像 $\beta_A: IX \to IX$ を用いる。
• 逆極限技法と逆系を用いて、特に $\tau = \omega_1$ の場合の $X = [0,1]^\tau$ の $IX$ を分析する。
• ソフト性と開性の否定を示すために、開写像と特徴的写像 $\chi$ を用いた背理法を用いる。
• Dirac 測度 $\delta_x$、有限台付き idempotent 測度、およびそれらが $IX$ に稠密に埋め込まれることを根拠に用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 idempotent 測度空間 $IX$ が絶対リトラクト（AR）であるのはいつか？
• RQ2 非可分コンパクト空間に対して、idempotent barycenter 写像 $\beta_{IX}$ はソフトか？
• RQ3 $\beta_{IX}$ が barycentric にソフトであるような非可分コンパクト空間 $X$ が存在するか？
• RQ4 コンパクト空間 $X$ の位相的性質（例：重さ、開生成）は、$IX$ のソフト性および AR 性にどのように影響するか？
• RQ5 $X = [0,1]^{\omega_1}$ の場合に、idempotent barycenter 写像は開か？

主な発見

• $IX$ が絶対リトラクト（AR）であるための必要十分条件は、$X$ が重さが高々 $\omega_1$ 以下の開に生成されるコンパクト空間であること。
• $X = [0,1]^{\omega_1}$ の場合に、idempotent barycenter 写像 $\beta_{I([0,1]^{\omega_1})}$ は 0-soft でない。これは確率測度の場合との類似性が成り立たないことを示している。
• barycenter 図式に関連する特徴的写像 $\chi$ は開でないため、ソフト性の仮定のもとで矛盾が生じる。
• $X = [0,1]^{\omega_1}$ の場合に、barycenter 写像は開でない。これは線形（確率）の場合とは根本的に異なることを示している。
• 任意の $\tau > \omega_1$ に対して、$I([0,1]^\tau)$ は絶対リトラクトではない。これは以前の研究で得られた否定的結果を確認している。
• 本研究の結果から、$IX$ の barycentric ソフト性は $X$ の可分性を示唆しており、確率測度の場合と類似している。