[論文レビュー] Idempotent probability measures, I

Mykhailo Zarichnyi|ArXiv.org|Aug 30, 2006

Advanced Topology and Set Theory参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コンパクトハウスドルフ空間上のイデムポテン確率測度（マスロフ測度）の関手が、**Comp** 圈における正規関手であり、ハイパースペース関手を部分関手として含むモナドをなすことを確立する。本稿は、イデムポテン確率測度のための新規なミリュチン写像の概念を導入し、その関手が開上昇写像を保存することを証明するが、同時に周辺分布対応が開でないことを示し、古典的確率測度とは対照的である。

ABSTRACT

The set of all idempotent probability measures (Maslov measures) on a compact Hausdorff space endowed with the weak* topology determines is functorial on the category $\comp$ of compact Hausdorff spaces. We prove that the obtained functor is normal in the sense of E. Shchepin. Also, this functor is the functorial part of a monad on $\comp$. We prove that the idempotent probability measure monad contains the hyperspace monad as its submonad. A counterpart of the notion of Milyutin map is defined for the idempotent probability measures. Using the fact of existence of Milyutin maps we prove that the functor of idempotent probability measures preserves the class of open surjective maps. Unlikely to the case of probability measures, the correspondence assigning to every pair of idempotent probability measures on the factors the set of measures on the product with these marginals, is not open.

研究の動機と目的

• シャチェピンの定義による、コンパクトハウスドルフ空間上のイデムポテン確率測度の関手が正規であることの確立。
• この関手が圏 **Comp** 上でモナドをなすことの証明。
• ハイパースペース関手が部分関手として埋め込まれ、ハイパースペースモナドがイデムポテン測度モナドの部分モナドとして現れることの示唆。
• イデムポテン測度のためのミリュチン写像の類似概念を定義し、それを用いて関手が開上昇写像を保存することを証明すること。
• 古典的確率論とは対照的に、イデムポテン設定における周辺分布対応写像が開でないことを調査すること。

提案手法

• 順序を保つ汎関数へのイデムポテン確率測度のラドゥル埋め込みを用いて、関手的構造を分析する。
• イデムポテン対応原理を適用し、古典的関数解析的構成をmax-plus凸構造に結びつける。
• イデムポテン測度のための新しいミリュチン写像の概念を導入し、平均作用素を用いて古典的概念を一般化する。
• 連続関数によって誘導される半ノルムによって定義される弱*位相を、イデムポテン測度の空間に用いる。
• max-plus代数的構造（⊕ = 最大、⊙ = 加法）を用いて、イデムポテン線形性を満たす測度汎関数を定義する。
• 上昇写像の開性とハイパースペースへの逆像写像の連続性の同値性を用いて、開上昇写像の保存性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトハウスドルフ空間上のイデムポテン確率測度の関手は、圏における正規関手であるか？
• RQ2 イデムポテン確率測度の関手にモナド構造を定義できるか。もし可能であれば、ハイパースペースモナドとどのように関係するか？
• RQ3 与えられた周辺分布を持つ結合測度を対応付ける対応写像は、開であるか？
• RQ4 イデムポテン測度のためのミリュチン写像の類似概念を定義できるか。また、その存在が関手が開上昇写像を保存することを保証するか？
• RQ5 イデムポテン測度の空間に自然な計量化が存在するか。特に、カンタロヴィチ型距離またはプロホロフ型特徴付けが可能か？

主な発見

• コンパクトハウスドルフ空間上のイデムポテン確率測度の関手は、E. シャチェピンの定義に従い正規である。
• この関手は圏 **Comp** 上でモナドをなし、モナド構造はmax-plus凸コンパクト集合とその重心写像に関連している。
• ハイパースペース関手は部分関手として埋め込まれており、ハイパースペースモナドはイデムポテン測度モナドの部分モナドである。
• イデムポテン測度のためのミリュチン写像の類似概念が定義され、その存在が関手が開上昇写像を保存することを示唆する。
• 周辺分布対応写像（与えられた周辺を持つ結合測度の集合を対応付ける写像）は、古典的確率論とは異なり開でない。
• 本稿は、イデムポテン測度の空間に自然な計量化が存在するか、特にカンタロヴィチ型またはプロホロフ型距離が存在するか、という問題を未解決のままとしている。