[論文レビュー] Idempotents and Nilpotents Modulo n

Steven R. Finch|arXiv (Cornell University)|May 1, 2006

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$n$ を法とするモジュロ冪列における周期および一時的段階の漸近的挙動を調査し、$\mathbb{Z}_n$ 内の冪等元、零冪元、原始根の要素に注目する。これらの要素の個数に対する正確な乗法的公式を導出し、ディリクレ級数およびセルバールグ＝デランジュ法を用いて漸近的密度を確立する。その結果、一時的段階が1以下である要素の定数 $A \approx 0.4408$ が得られる。

ABSTRACT

We study asymptotic properties of periods and transient phases associated with modular power sequences. The latter are simple; the former are vaguely related to the reciprocal sum of square-free integer kernels.

研究の動機と目的

• モジュロ $n$ における要素の分布を、一時的段階または周期が有界である場合に特徴づけること。
• 冪等元（$x^2 = x$）および零冪元（$x^k = 0$）を含む、このような要素の個数に対する正確な乗法的公式を導出すること。
• ディリクレ級数および解析的整数論を用いて、これらの要素の累積個数の漸近的成長率を確立すること。
• これらの個数の漸近的挙動を、アーティン定数や二次類数定数といった既知の定数と関連付けること。

提案手法

• それぞれの $x^k \mod n$ の列における周期 $\sigma(x)$ および一時的段階 $\tau(x)$ を定義する。
• 乗法的算術関数を用いて、$\tau \leq 1,2,3$ である要素の個数を表す $a(n), b(n), c(n)$ を計算する。
• ディリクレ生成関数 $\sum a(n)/n^{s+1}$ を構成し、セルバールグ＝デランジュ法を適用して漸近的主項を抽出する。
• 素数を含むオイラー積として、漸近的密度定数を表現する。たとえば $A = \frac{1}{2} \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^2(p+1)}\right)$ のように。
• 零冪元の個数を平方自由核 $\kappa(n)$ に関連させ、$z(n) = n / \kappa(n)$ を示し、$\sum 1/\kappa(n)$ に関する既知の結果を用いてその和を分析する。
• $\varphi(n)$ や $\psi(n)$ といった既知の算術関数と比較し、原始根およびアーティン定数との関連を議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュロ $n$ における要素 $x \in \mathbb{Z}_n$ で、一時的段階 $\tau(x) \leq 1$ であるものの漸近的密度は何か？
• RQ2 一時的段階が $T$ 以下である要素の個数 $\tau \leq T$ は、$n \to \infty$ のときどのように増加するか？
• RQ3 モジュロ $n$ における零冪元の個数の漸近的挙動は何か？また、平方自由核 $\kappa(n)$ とどのように関係するか？
• RQ4 $\sum_{n \leq N} u(n)$（周期が1である要素の個数を数える）の和は、漸近的に推定可能か？また、$\sum \varphi(n)$ と比較するとどうなるか？
• RQ5 モジュロ $n$ における原始根の漸近的密度は何か？また、アーティン定数とどのように関係するか？

主な発見

• 一時的段階が1以下の要素の個数は、$\sum_{n \leq N} a(n) \sim A N^2$ を満たし、$A = \frac{1}{2} \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^2(p+1)}\right) \approx 0.440756919862$ である。
• 一時的段階が2以下の要素の個数の和は、$\sum_{n \leq N} b(n) \sim B N^2$ を満たし、$B = \frac{1}{2} \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^2(p^2 + p + 1)}\right) \approx 0.477176626987$ である。
• 一時的段階が3以下の要素の個数の和は、$\sum_{n \leq N} c(n) \sim C N^2$ を満たし、$C = \frac{1}{2} \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^2(p^3 + p^2 + p + 1)}\right) \approx 0.490145568004$ である。
• モジュロ $n$ における零冪元の個数は $z(n) = n / \kappa(n)$ であり、ここで $\kappa(n)$ は平方自由核であるが、和 $\sum_{n \leq N} z(n)$ の漸近的挙動は未解決のままである。
• モジュロ $n$ における原始根の個数の和 $\sum_{n \leq N} g(n) \sim \tilde{A} N^2 / \ln N$ を満たし、$\tilde{A} = \frac{5}{8} \prod_p \left(1 - \frac{1}{p(p-1)}\right) \approx 0.233722383512$ であり、これはアーティン定数の五分の八に相当する。
• 周期が1である要素の個数を数える $\sum_{n \leq N} u(n)$ は、$\sum_{n \leq N} (n - m(n)) \sim \frac{3}{8} \frac{N^2}{\ln N}$ を満たし、ここで $m(n)$ は $\sigma(x) = 1$ である要素の個数である。