[論文レビュー] IDENT: Identifying Differential Equations with Numerical Time evolution

Sung Ha Kang, Wenjing Liao+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 34被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、数値的時間発展を検証と補正に用いることで、ノイズが混入した離散的時間系列データから偏微分方程式（PDE）を同定する新規アルゴリズムIDENTを提案する。Lassoに基づくスパース回帰と時間発展誤差（TEE）メトリクスを組み合わせることで、ノイズ、ダウンサンプリング、係数の変動に対しても安定した回復を実現し、非一様性と新たなノイズ対信号比の定義を用いて理論的保証を達成する。

ABSTRACT

Identifying unknown differential equations from a given set of discrete time dependent data is a challenging problem. A small amount of noise can make the recovery unstable, and nonlinearity and differential equations with varying coefficients add complexity to the problem. We assume that the governing partial differential equation (PDE) is a linear combination of a subset of a prescribed dictionary containing different differential terms, and the objective of this paper is to find the correct coefficients. We propose a new direction based on the fundamental idea of convergence analysis of numerical PDE schemes. We utilize Lasso for efficiency, and a performance guarantee is established based on an incoherence property. The main contribution is to validate and correct the results by Time Evolution Error (TEE). The new algorithm, called Identifying Differential Equations with Numerical Time evolution (IDENT), is explored for data with non-periodic boundary conditions, noisy data and PDEs with varying coefficients. From the recovery analysis of Lasso, we propose a new definition of Noise-to-Signal ratio, which better represents the level of noise in the case of PDE identification. We systematically analyze the effects of data generations and downsampling, and propose an order preserving denoising method called Least-Squares Moving Average (LSMA), to preprocess the given data. For the identification of PDEs with varying coefficients, we propose to add Base Element Expansion (BEE) to aide the computation. Various numerical experiments from basic tests to noisy data, downsampling effects and varying coefficients are presented.

研究の動機と目的

• 離散的でノイズが混入し、かつ潜在的にダウンサンプリングされた時間系列データから未知のPDEを同定する課題に対処すること。
• ノイズと非周期的境界条件の下で、PDE同定の安定性と精度を向上させること。
• 数値的時間発展を用いてスパース回帰の結果を検証・補正する、堅牢なフレームワークの構築。
• 基本要素拡張（BEE）を用いて、係数が変化するPDEにこの手法を拡張すること。
• 非一様性と洗練されたノイズ対信号比に基づく、PDE同定のための新たな理論的性能保証を確立すること。

提案手法

• Lassoで同定された候補PDEを、数値的時間発展を用いて検証・補正する新規アルゴリズムIDENTを提案する。
• 有限差分スキーム（例：5点ENO）を用いて、候補項の辞書における空間微分を近似する。
• 時間経過における候補PDEの一貫性を評価するための時間発展誤差（TEE）メトリクスを導入する。
• 順序を保持するノイズ除去のための最小二乗移動平均（LSMA）を考案し、同定精度の向上を図る。
• 係数を有限要素基底で展開することで、係数が空間的に変化するPDEを表現するための基本要素拡張（BEE）を用いる。
• 非一様性の性質を用いて理論的性能保証を確立し、PDE同定に特化した新たなノイズ対信号比を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数値的時間発展を、ノイズ混入データからのPDE同定の耐障害性を向上させる検証メカニズムとして利用可能か？
• RQ2 提案されたTEEメトリクスは、PDE発見におけるスパース回帰の精度と安定性をどのように向上させるか？
• RQ3 微分推定へのノイズの影響を反映するPDE同定に適したノイズ対信号比の定義は何か？
• RQ4 係数が空間的に変化するPDEは、スパース回帰を用いて効果的に同定可能か？
• RQ5 LSMAによるノイズ除去は、データの破損やダウンサンプリング下でのPDE同定性能をどの程度向上させるか？

主な発見

• IDENTアルゴリズムは、ノイズやダウンサンプリングが強い状況下でも、高い精度でPDEを同定できる。
• 提案されたTEEメトリクスは、誤ったPDE候補を効果的にフィルタリングし、標準的なLassoに比べて回復の安定性が著しく向上する。
• LSMAノイズ除去はデータの順序と構造を保持し、微分精度の維持において標準的なノイズ除去を上回る性能を示す。
• 理論的分析により、IDENTは非一様性条件を満たす場合に安定した回復を達成することが示された。
• 基本要素拡張（BEE）により、係数が変化するPDEの正確な同定が可能となり、複雑なシステムへの適用範囲が拡張された。
• 誤差に関する理論的バインディングが導出され、回復誤差がノイズレベルと非一様性に比例することを示し、耐障害性が確認された。