[論文レビュー] Identifiability and Stability in Blind Deconvolution under Minimal Assumptions

Yanjun Li, Kiryung Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、最小限の仮定の下でブラインドデコンボリューションの最適なサンプル複雑度の境界を確立し、信号とフィルタのスパarsityレベルまたは部分空間次元の合計を超える測定回数があれば、一意的かつ安定な回復が達成可能であることを証明している。近年の低ランク行列回復分野の進展を活用することで、未知変数の自由度と一致するきつい決定的条件を導出し、従来の研究における長年の非最適性のギャップを解消した。

ABSTRACT

Blind deconvolution (BD) arises in many applications. Without assumptions on the signal and the filter, BD does not admit a unique solution. In practice, subspace or sparsity assumptions have shown the ability to reduce the search space and yield the unique solution. However, existing theoretical analysis on uniqueness in BD is rather limited. In an earlier paper, we provided the first algebraic sample complexities for BD that hold for almost all bases or frames. We showed that for BD of a pair of vectors in $\mathbb{C}^n$, with subspace constraints of dimensions $m_1$ and $m_2$, respectively, a sample complexity of $n\geq m_1m_2$ is sufficient. This result is suboptimal, since the number of degrees of freedom is merely $m_1+m_2-1$. We provided analogus results, with similar suboptimality, for BD with sparsity or mixed subspace and sparsity constraints. In this paper, taking advantage of the recent progress on the information-theoretic limits of unique low-rank matrix recovery, we finally bridge this gap, and derive an optimal sample complexity result for BD with generic bases or frames. We show that for BD of an arbitrary pair (resp. all pairs) of vectors in $\mathbb{C}^n$, with sparsity constraints of sparsity levels $s_1$ and $s_2$, a sample complexity of $n > s_1+s_2$ (resp. $n > 2(s_1+s_2)$) is sufficient. We also present analogous results for BD with subspace constraints or mixed constraints, with the subspace dimension replacing the sparsity level. Last but not least, in all the above scenarios, if the bases or frames follow a probabilistic distribution specified in the paper, the recovery is not only unique, but also stable against small perturbations in the measurements, under the same sample complexities.

研究の動機と目的

• 最小限の仮定の下でのブラインドデコンボリューションにおける、既存の非最適なサンプル複雑度の境界と真の自由度の間のギャップを埋めること。
• スパarsityまたは部分空間制約付きのブラインドデコンボリューションにおける、一意的かつ安定な回復のためのきつい決定的十分条件を確立すること。
• 一般的な基底やフレームに対しても理論的保証を拡張し、最適な測定回数における識別可能性と安定性を保証すること。
• 特に $n \geq m_1 m_2$ の要件が長年問題視されてきたが、実際の自由度 $m_1 + m_2 - 1$ に一致させることで、この長年の非最適性の問題を解消すること。

提案手法

• ブラインドデコンボリューションを低ランク行列回復問題に再定式化するためのリフトフレームワークを活用する。
• 最近の情報理論的結果を応用し、一意的低ランク行列回復の枠組みを用いてきついサンプル複雑度の境界を導出する。
• 双線形代数と核空間解析を用いて識別可能性条件を特徴づけ、特に核空間内のランク2行列に注目する。
• 被覆論的議論とボックスカウント次元を用いて、測定値の小さな摂動に対する安定性を分析する。
• 確率的失敗項が従来の研究で一般的に見られるのを避け、定数および対数因子まできつい境界を導出する。
• 実数および複素信号モデルの両方を考慮し、スパarsityと部分空間構造を併用する混合制約へも拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のスパarsityまたは部分空間制約下で、ブラインドデコンボリューションにおける一意的回復を保証するための最小測定回数は何か？
• RQ2 サンプル複雑度を、未知信号とフィルタの自由度に一致させ、最適化できるか？
• RQ3 ブラインドデコンボリューションが識別可能であるだけでなく、測定値の小さな摂動に対しても安定である条件は何か？
• RQ4 信号とフィルタが標準基底ではなく、任意の正規直交基底やフレーム上でスパースである場合、結果はどのように変化するか？
• RQ5 理論的保証を、高確率に成立するのではなく、すべての基底やフレームに対して決定的かつ普遍的に成立させるのは可能か？

主な発見

• 複素数 $\mathbb{C}^n$ 内の2つのベクトルのブラインドデコンボリューションにおいて、スパarsityレベルが $s_1$ と $s_2$ の場合、$n > s_1 + s_2$ のサンプル複雑度があれば一意的回復が可能である。
• すべてのベクトルのペアに対して、$n > 2(s_1 + s_2)$ が十分であり、連続的パrameter空間の自由度と一致する。
• 次元 $m_1$ と $m_2$ の部分空間制約がある場合、必要なサンプル複雑度は $n > m_1 + m_2 - 1$ であり、自由度と一致する。
• 信号とフィルタが一般の基底やフレーム上でスパースである場合、回復は一意的であるだけでなく、測定値の小さな摂動に対しても安定である。
• 結果は、定数や対数因子を追加する必要がないという意味できついものであり、長年の非最適性を解消した。
• 解析は実数および複素信号モデルに適用可能であり、スパarsityと部分空間構造を併用する混合制約へも拡張可能である。