[論文レビュー] Identifiability in Blind Deconvolution with Subspace or Sparsity Constraints

Yanjun Li, Kiryung Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、部分空間またはスパarsity制約下でのブラインドデコンボリューションに対して、初めて代数的サンプル複雑度の上限を確立し、一般の部分空間では $ n \geq m_1 m_2 $、一方の基底がサブバンド構造を持つ場合には $ n \geq m_1 + m_2 - 1 $ のとき、スケーリングを除いて一意的な復元が可能であることを証明している。スパarsity制約への拡張では、未知のサポートの影響により、サンプル複雑度に追加で2倍の要因が生じる。

ABSTRACT

Blind deconvolution (BD), the resolution of a signal and a filter given their convolution, arises in many applications. Without further constraints, BD is ill-posed. In practice, subspace or sparsity constraints have been imposed to reduce the search space, and have shown some empirical success. However, existing theoretical analysis on uniqueness in BD is rather limited. As an effort to address the still mysterious question, we derive sufficient conditions under which two vectors can be uniquely identified from their circular convolution, subject to subspace or sparsity constraints. These sufficient conditions provide the first algebraic sample complexities for BD. We first derive a sufficient condition that applies to almost all bases or frames. For blind deconvolution of vectors in $\mathbb{C}^n$, with two subspace constraints of dimensions $m_1$ and $m_2$, the required sample complexity is $n\geq m_1m_2$. Then we impose a sub-band structure on one basis, and derive a sufficient condition that involves a relaxed sample complexity $n\geq m_1+m_2-1$, which we show to be optimal. We present the extensions of these results to BD with sparsity constraints or mixed constraints, with the sparsity level replacing the subspace dimension. The cost for the unknown support in this case is an extra factor of 2 in the sample complexity.

研究の動機と目的

• 部分空間またはスパarsity制約下でのブラインドデコンボリューションにおける理論的同定可能性の保証の欠如に対処すること。
• このような制約下で、円周的畳み込みから信号およびフィルタの一意的同定の十分条件を導出すること。
• 部分空間およびスパarsity制約付きブラインドデコンボリューションの両方に適用可能な、タイトで正確な代数的サンプル複雑度の上限を確立すること。
• スパarsity制約付き設定における未知のサポートが同定可能性およびサンプル複雑度に与える影響を分析すること。

提案手法

• 変換群フレームワークを用いて、一般の部分空間制約下での同定可能性の十分条件を導出する。
• 一方の基底がサブバンド構造を持つ場合に、緩められたサンプル複雑度の上限 $ n \geq m_1 + m_2 - 1 $ を導入する。
• リフトフレームワークを適用して、ブラインドデコンボリューションをランク1行列回復問題に再定式化し、同定可能性を分析する。
• ヌル空間解析および行列ランクの議論を用いて、導出された条件下でシステム行列がフル列ランクを有することを証明する。
• スパarsity制約のケースを扱うために、部分空間次元をスパarsityレベルに置き換え、未知のサポートの影響を2倍の要因で補正する。
• 線形作用素における非ゼロのヌルベクトルの存在に基づく構成的証明戦略を用い、サンプル複雑度が不十分な場合に同定不能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 信号およびフィルタが部分空間に制約される場合、ブラインドデコンボリューションがいつ一意的に同定可能になるか。
• RQ2 一方の基底が構造的サブバンド形式を持つ場合、部分空間制約付きブラインドデコンボリューションのサンプル複雑度を低減できるか。
• RQ3 スパース信号の未知のサポートが、同定に必要なサンプル複雑度に与える影響は何か。
• RQ4 サブバンド構造の仮定下で、導出されたサンプル複雑度の上限 $ n \geq m_1 + m_2 - 1 $ は最適か。
• RQ5 任意の辞書におけるスパarsityが、ブラインドデコンボリューションにおける同定可能性に与える影響は何か。

主な発見

• 次元が $ m_1 $ および $ m_2 $ の2つの部分空間制約下でのブラインドデコンボリューションでは、$ n \geq m_1 m_2 $ のとき、スケーリングを除いて一意的復元が保証され、これはほとんどすべての基底やフレームに対して十分条件である。
• 一方の基底がサブバンド構造を持つ場合、必要なサンプル複雑度は $ n \geq m_1 + m_2 - 1 $ に低下し、この上限が最適であることが証明されている。
• スパarsity制約付きブラインドデコンボリューションでは、サンプル複雑度が $ n \geq 2(s_1 + s_2 - 1) $ となる。ここで $ s_1 $ および $ s_2 $ はスパarsityレベルを表し、未知のサポートのコストを反映している。
• $ n \geq m_1 + m_2 - 1 $ の上限が、サブバンド構造仮定下で必要かつ最適であることが示され、この条件を満たさない場合、同定不能となる。
• 本稿では、$ n < m_1 + m_2 - 1 $ の場合、サポートが既知であっても同定不能であることを、関連する線形作用素に非ゼロのヌルベクトルを構成することで証明している。
• スパarsity制約付き復元において $ n \geq s_1 + m_2 - 1 $ が必要であることが確立されており、未知のサポートがあると、既知のサポートの場合と比較してサンプル複雑度が2倍に増加することが示されている。