[論文レビュー] Identification of community structure in networks with convex optimization

Roland Hildebrand|ArXiv.org|Jun 11, 2008

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、モジュラリティ最大化を完全正定値錐上の円錐計画に再定式化し、その後、半正定値緩和を用いて最適モジュラリティのタイトな上限を計算することで、ネットワークにおけるコミュニティ構造の同定のための凸最適化フレームワークを提案する。この手法により、ランダム化アルゴリズムを用いて高品質な分割を生成でき、実世界のネットワークであるZacharyのキアリクラブに対して、初めて最適性の証明が可能となり、ベンチマークネットワークにおいて最先端の精度を示した。

ABSTRACT

We reformulate the problem of modularity maximization over the set of partitions of a network as a conic optimization problem over the completely positive cone, converting it from a combinatorial optimization problem to a convex continuous one. A semidefinite relaxation of this conic program then allows to compute upper bounds on the maximum modularity of the network. Based on the solution of the corresponding semidefinite program, we design a randomized algorithm generating partitions of the network with suboptimal modularities. We apply this algorithm to several benchmark networks, demonstrating that it is competitive in accuracy with the best algorithms previously known. We use our method to provide the first proof of optimality of a partition for a real-world network.

研究の動機と目的

• 既存のコミュニティ検出アルゴリズムには、解が最適モジュラリティからどの程度近いかを評価する仕組みが欠如しているという問題に対処する。
• NP困難なモジュラリティ最大化問題を完全正定値錐を用いた連続凸最適化問題に再定式化する。
• 最大モジュラリティのタイトな上限を提供する半正定値緩和を構築し、部分最適解の性能評価を可能にする。
• 半正定値緩和の解を活用して、高モジュラリティの分割を生成するランダム化アルゴリズムを設計する。
• 実世界のネットワーク、特にZacharyのキアリクラブに対して、分割の最適性を初めて証明する。

提案手法

• 完全正定値錐のコンactなアフィン部分集合上での連続凸最適化問題として、モジュラリティ最大化を再定式化する。
• 取り扱いにくい完全正定値錐を、半正定値表現可能な上界集合（二重非負錐）で置き換え、取り扱いやすい半正定値計画問題（SDP）を導出する。
• SDPの解を用いて最大モジュラリティの上限を導出し、多くのベンチマークネットワークでタイトな上限が得られる。
• SDPの解を低ランク行列に射影するランダム化アルゴリズムを設計し、部分最適だが高モジュラリティのコミュニティ分割を生成する。
• 緩和の幾何的解釈を導入し、上限を改善するとともに、ランダム化分割プロセスを支援する。
• 最大コミュニティ数に制約を加えることのできるアプローチを拡張し、このパラメータでインデックス化された一連の上限を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラリティ最大化を凸連続最適化問題に再定式化することで、最適モジュラリティの厳密な上限評価が可能になるか？
• RQ2 半正定値緩和によって得られる上限は、ベンチマークネットワークにおける既知の最良部分最適解と比べてどの程度タイトか？
• RQ3 半正定値緩和の解を活用して、性能保証付きの高品質なコミュニティ分割を生成できるか？
• RQ4 このフレームワークを用いて、実世界のネットワークにおけるコミュニティ分割の最適性を証明できるか？
• RQ5 ネットワークサイズや許容可能なコミュニティ数の増加に伴い、計算複雑性はどのように変化するか？

主な発見

• 提案された半正定値緩和は、多数のベンチマークネットワークにおいて、既知の最良部分最適値と数パーセント以内の差で上限を提供する。
• Zacharyのキアリクラブネットワークでは、改善された緩和により双対ギャップが解消され、実世界ネットワークにおける分割の最適性を初めて証明した。
• アルゴリズムは競争力のある精度を達成し、標準ベンチマークではしばしば既知の最良結果と同等またはそれを上回る。
• 許容可能なコミュニティ数を増やすにつれて、上限の収束が速やかに進行し、緩和のタイトさが強く示された。
• $out=6$ であるランダムネットワークの上限相対誤差はわずか 0.3% であり、最大モジュラリティ自体の標準偏差をはるかに下回っている。
• 計算コストの制限により、数100ノード程度のネットワークに限定して適用可能であるが、SDPソルバの進歩により今後改善が見込まれる。