[論文レビュー] Identification of noncausal Ito processes from the stochastic Fourier coefficients II

Shigeyoshi Ogawa, Hideaki Uemura|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非因果的 Itô過程の拡散係数 $ a(t,\omega) $ とドリフト係数 $ b(t,\omega) $ が、その確率的フーリエ係数（SFCs）から同定可能であるための条件を確立する。ボーリング畳み込み法とマルヤヴィン微積分を用いて、$ a(t,\omega) \in \mathcal{L}^{2,2} $ かつ $ b(t,\omega) \in \mathcal{L}^{2,1} $ のとき、$ dX_t = b(t,\omega)dt + a(t,\omega)dW_t $ のSFCsから全過程が再構成可能であることを証明し、因果的および非因果的ウィーナー関数への先行結果を拡張する。

ABSTRACT

We consider the identification problem of a noncausal Ito process from its stochastic Fourier coefficients with respect to the complete system of trigonometric functions. Here, a noncausal Ito process is the extension of Ito process whose diffusion and drift terms are assumed to be noncausal. If noncausal Ito processes are defined through Skorokhod integral, then authors obtained the affirmative answer in the previous article (Ogawa & Uemura,2014). In this note we generalize our result. We assume both diffusion and drift terms belong to the Watanabe space and identify the noncausal Ito process from its stochastic Fourier coefficients in the framework of Malliavin calculus.

研究の動機と目的

• 非因果的確率過程の再構成を、ウィーナー関数に限らず、完全な非因果的 Itô過程へと拡張すること。
• SFCsから非因果的 Itô過程におけるドリフト項と拡散項の区別を困難にしている課題に取り組むこと。
• $ a(t,\omega) $ と $ b(t,\omega) $ に対する十分な正則性条件を確立し、SFCsによる同定可能性を保証すること。
• 因果的および非因果的ウィーナー関数に関する先行結果を、より広い非因果的 Itô過程のクラスへ一般化すること。

提案手法

• 微分形 $ dX_t = b(t,\omega)dt + a(t,\omega)dW_t $ の確率的フーリエ係数（SFC）を、$ \mathcal{F}_n(dX) = \int_0^1 \overline{\varphi_n(t)} dX_t $ として定義する。
• ボーリング畳み込み法を用いて、SFCs からの $ a(t,\omega) $ と $ b(t,\omega) $ の寄与を分離する。
• 非適応過程を取り扱うために、特にスコロホド積分と確率的微分 $ D_s a(t,\omega) $ を用いたマルヤヴィン微積分を適用する。
• 正則性条件を課す：$ a(t,\omega) \in \mathcal{L}^{2,2} $、$ b(t,\omega) \in \mathcal{L}^{2,1} $ であり、高階のマルヤヴィン微分が存在することを保証する。
• SFCsのボーリング積の $ L^2(\Omega) $-極限を用いて、$ a(t,\omega) $ のフーリエ係数を回復する重要な恒等式を導出する。
• 重み付きソボレフ空間 $ \mathbb{D}_p^{\alpha} $ における双対性と同型写像を用いて、マルヤヴィン微積分枠組み内での積分と微分の交換を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非因果的 Itô過程のドリフト係数と拡散係数は、その確率的フーリエ係数から一意に再構成可能か？
• RQ2 このような同定が可能となる $ a(t,\omega) $ と $ b(t,\omega) $ に対する正則性条件は何か？
• RQ3 非適応係数を有する非因果的 Itô過程に、ボーリング畳み込み法をどのように適合可能か？
• RQ4 再構成法は、三角関数基底に依存するのではなく、異なる正規直交基底 $ \{\varphi_n\} $ に対しても安定か？
• RQ5 条件 (A) を満たす一般の正規直交系へ、この方法を三角関数基底を超えて拡張可能か？

主な発見

• 拡散係数 $ a(t,\omega) $ のフーリエ係数 $ \tilde{a}_n $ は、SFCsのボーリング積の $ L^2(\Omega) $-極限によって回復可能である。
• 回復は、$ a(t,\omega) \in \mathcal{L}^{2,2} $ かつ $ b(t,\omega) \in \mathcal{L}^{2,1} $ の条件下で有効であり、十分なマルヤヴィン正則性を保証する。
• 一旦 $ \tilde{a}_n $ が回復されれば、$ \tilde{b}_n = \mathcal{F}_n(dX) - \mathcal{F}_n(a) $ により $ \tilde{b}_n $ が得られ、$ b(t,\omega) $ の完全な再構成が可能になる。
• 再構成法は、重み付きソボレフ空間 $ \mathbb{D}_p^{\alpha} $ における双対性に依存し、積分と微分の交換を厳密に正当化可能である。
• 証明により、$ \int_0^1 D_t(\int_0^1 b(s,\omega)ds)e(t)dt = \int_0^1 \int_0^1 D_t b(s,\omega)e(t)dtds $ が $ \mathbb{D}_{p}^{\alpha-1}(\mathbb{C}) $ 内で成り立つ、重要な技術的恒等式が確立される。
• 本結果は、因果的および非因果的ウィーナー関数に関する先行研究を、完全な非因果的 Itô過程の枠組みへ一般化する。