[論文レビュー] Identification of nonlinear controllers from data: theory and computation

Lorenzo Fagiano, Carlo Novara|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2013

Control Systems and Identification参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、閉ループシステムにおける実験的測定値から非線形コントローラーを同定するデータ駆動型手法を提示する。Lipschitz連続性と集合ベース最適化を活用する。主な貢献は、有限データからコントローラーの非線形関数とその安定性特性を推定する、証明可能に収束するアルゴリズムであり、有界な摂動下で有限利得 $\sigma$-安定性を保証する。

ABSTRACT

This manuscript contains technical details and proofs of recent results developed by the authors, pertaining to the design of nonlinear controllers from the experimental data measured on an existing feedback control system.

研究の動機と目的

• プラントおよびコントローラーが未知である閉ループシステムにおいて、実験的データから未知の非線形コントローラーを同定する課題に対処すること。
• 入力、出力、摂動が有界集合に属する条件下で、同定問題を形式化すること。
• Lipschitz連続性の仮定に基づき、同定されたコントローラーが閉ループ系の有限利得 $\sigma$-安定性を維持することを保証すること。
• 有限データからコントローラー関数とその安定性マージンを推定する計算的に実行可能なアルゴリズムを開発すること。
• データサイズが増加する条件下で、推定されたコントローラーおよびそのLipschitz定数の理論的収束保証を提供すること。

提案手法

• 閉ループ系を、入力 $e_s$、出力 $y$、およびコントローラー $u = \kappa(y)$ を持つ離散時間非線形力学系としてモデル化する。ここで $\kappa$ は静的非線形関数である。
• システム力学 $f$ およびコントローラー $\kappa$ がコンact集合上でLipschitz連続であると仮定し、安定性と有界性を保証する。
• 予測出力と測定出力の間の最悪誤差を最小化する集合ベース最適化フレームワークを用いて、コントローラー $\kappa$ を推定する。
• 有限データサンプルからコントローラーのLipschitz定数 $\hat{\gamma}_{\kappa}$ を計算するデータ駆動推定器を導入する。
• 2段階のアルゴリズムを適用する：まず、データから摂動の上限 $\varepsilon$ を推定する。次に、データペア上の最大最小最適化によりコントローラー推定値 $\hat{\kappa}$ を計算する。
• やや弱い正則性条件の下で、データサイズ $N \to \infty$ のとき、推定コントローラーおよびそのLipschitz定数が真の値に漸近的に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プラントおよびコントローラーが未知である状況で、実験的データから非線形コントローラーを正確に同定できるか？
• RQ2 有界な摂動および測定ノイズ下で、同定されたコントローラーの安定性を保証する条件は何か？
• RQ3 有限データから、理論的収束保証を伴う未知コントローラーのLipschitz定数をどのように推定できるか？
• RQ4 データサイズとコントローラー同定および安定性マージン推定の精度との関係は何か？
• RQ5 測定された入出力データのみを用いて、同定手法が閉ループ系の有限利得 $\ell_\infty$-安定性を保証できるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、与えられた仮定の下で、データサンプル数 $N \to \infty$ のとき、推定コントローラー $\hat{\kappa}$ が真のコントローラー $\kappa$ に収束することを保証する。
• コントローラーの推定Lipschitz定数 $\hat{\gamma}_{\kappa}$ は、$N \to \infty$ のとき真の $\gamma_{\kappa}$ に確実に収束する。
• 推定された $\hat{\gamma}_{g,y} < 1$ が成り立つ場合、閉ループ系の有限利得 $\ell_\infty$-安定性が保証される。ここで $\gamma_{g,y}$ は閉ループ写像 $g$ のLipschitz定数である。
• 摂動の上限 $\varepsilon$ は、データが増加するにつれて一貫して推定され、$\hat{\varepsilon} \to \varepsilon$ となる。これにより、モデル化されていないダイナミクスやノイズに対するロバストネスが保証される。
• アルゴリズムは、データ密度および $f$ と $\kappa$ のLipschitz特性に依存する収束レートを達成する。
• 理論的解析により、推定コントローラーが $\gamma_{\mathfrak{f}} \leq \hat{\gamma}$ を満たすことが証明され、推定Lipschitz定数が真の値を下回らないことが保証される。