[論文レビュー] Identifying the Topology of Undirected Networks from Diffused Non-stationary Graph Signals

Rasoul Shafipour, Santiago Segarra+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2018

Advanced Graph Neural Networks被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、非定常な拡散グラフ信号からグラフのトポロジーを推定するための新規手法を提案する。この手法は、下位の拡散フィルタのシステム同定を通じて、グラフシフト作用素（GSO）を特定することを目的としている。既知の入力信号統計と多項式フィルタ構造を活用することで、任意の入力相関に対しても、グラフの固有ベクトルと固有値を一意に回復可能であり、線形および二次入力モデルの両方に対して理論的同定可能性と実用的アルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

We address the problem of inferring an undirected graph from nodal observations, which are modeled as non-stationary graph signals generated by local diffusion dynamics that depend on the structure of the unknown network. Using the so-called graph-shift operator (GSO), which is a matrix representation of the graph, we first identify the eigenvectors of the shift matrix from realizations of the diffused signals, and then estimate the eigenvalues by imposing desirable properties on the graph to be recovered. Different from the stationary setting where the eigenvectors can be obtained directly from the covariance matrix of the observations, here we need to estimate first the unknown diffusion (graph) filter -- a polynomial in the GSO that preserves the sought eigenbasis. To carry out this initial system identification step, we exploit different sources of information on the arbitrarily-correlated input signal driving the diffusion on the graph. We first explore the simpler case where the observations, the input information, and the unknown graph filter are linearly related. We then address the case where the relation is given by a system of matrix quadratic equations, which arises in pragmatic scenarios where only the second-order statistics of the inputs are available. While such quadratic filter identification problem boils down to a non-convex fourth-order polynomial minimization, we discuss identifiability conditions, propose algorithms to approximate the solution and analyze their performance. Numerical tests illustrate the effectiveness of the proposed topology inference algorithms in recovering brain, social, financial and urban transportation networks using synthetic and real-world signals.

研究の動機と目的

• 局所的拡散ダイナミクスによって生成される非定常グラフ信号から、無向グラフの構造を同定する課題に対処すること。
• 入力信号の共分散が白色でない任意のものである場合に、グラフシフト作用素（GSO）を同定すること。定常信号モデルとは異なり、入力が白色でない場合を想定する。
• 観測された拡散信号と入力信号統計を用いて、未知のGSOの固有ベクトルと固有値を同定すること。
• 線形および二次入力信号関係モデルの両方に対して、グラフトポロジー同定のためのアルゴリズムを開発し、理論的同定可能性の保証を提供すること。

提案手法

• 未知のGSOに関する行列多項式としてのフィルタモデルを用いて拡散プロセスを表現し、出力信号が未知のGSOに関する行列多項式を介して入力信号の線形変換として得られることを想定する。
• 出力信号の三階累積テンソルのテンソルベースのPARAFAC分解を用いて、GSOの固有ベクトルを推定する。この際、既知の入力共分散構造を活用する。
• 回復されたフィルタ行列の対称性制約を用いて、固有ベクトル推定における符号の不確実性を解消し、符号の置換を除いてGSOの一意同定を保証する。
• 第二階の入力統計しか利用できない場合、行列二次方程式系から導かれる二値二次プログラミング（BQP）問題を定式化してグラフフィルタを推定する。
• 非凸なBQP解を近似可能にするために、半定値緩和を適用し、性能解析を併記することで実用的実装を可能にする。
• 入力および出力信号共分散のKruskalランクとスペクトル特性に基づく同定可能性条件を導入し、GSOの一意回復を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力信号共分散が白色でない任意のものである場合、非定常な拡散信号からグラフシフト作用素（GSO）を一意に同定できるか？
• RQ2 グラフ構造の事前知識がなく、拡散信号の観測から未知のGSOの固有ベクトルをどのように推定できるか？
• RQ3 入力信号の第二階統計量しか利用できない場合、GSOの同定可能性条件は何か？
• RQ4 入力出力関係をモデル化する行列二次方程式系は、効率的に解けるか？その解がグラフフィルタおよびグラフトポロジーの回復に繋がるか？
• RQ5 提案されたアルゴリズムは、脳、社会的ネットワーク、金融時系列、都市交通網などの実世界ネットワークトポロジーの回復において、どのように性能を発揮するか？

主な発見

• 本手法は、出力信号の三階累積テンソルの構造と既知の入力共分散を活用することで、未知のGSOの固有ベクトルを一意に回復する。
• 回復されたフィルタ行列の対称性を強制することで、固有ベクトル推定における符号の不確実性を解消し、符号の置換を除いてGSOの一意同定を保証する。
• 二次入力モデルの場合は、問題が二値二次プログラミング（BQP）問題に還元され、半定値緩和により理論的収束保証付きで近似可能となる。
• 合成ネットワークおよび実世界ネットワーク（脳機能的結合、社会的ネットワーク、金融時系列、都市移動データ）における数値実験で、正確なトポロジー回復を達成する。
• 弱い条件下でも同定可能性が保証される：入力共分散のKruskalランクが2以上であり、フィルタ行列が正則かつ対称である。
• 実世界の応用で一般的に見られる相関のある入力信号を明示的に扱うため、本手法は定常信号ベースの手法よりも非定常設定で優れた性能を発揮する。