[論文レビュー] Identities among relations for higher-dimensional rewriting systems

Yves Guiraud, Philippe Malbos|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2009

Logic, programming, and type systems参考文献 17被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、多様体の写像から群論の関係に関する恒等式を一般化し、ポリグラフとトラックnカテゴリを用いて高次元の書き換え系に応用する。nカテゴリのための自然な関係の恒等式系を導入し、有限の導出型がその系の有限生成性を意味することを証明し、収束するポリグラフにおける臨界対が、融合図を通じてその系を生成することを示す。

ABSTRACT

We generalize the notion of identities among relations, well known for presentations of groups, to presentations of n-categories by polygraphs. To each polygraph, we associate a track n-category, generalizing the notion of crossed module for groups, in order to define the natural system of identities among relations. We relate the facts that this natural system is finitely generated and that the polygraph has finite derivation type.

研究の動機と目的

• 群の提示において元々定義された関係の恒等式の古典的概念を、nカテゴリのような高次元代数的構造へと拡張すること。
• ポリグラフによるnカテゴリの提示に対して、関係の恒等式の自然な系を定義し、交差モジュールの高次元への一般化を達成すること。
• この自然な系の有限生成性と、それらの背後にあるポリグラフの有限導出型との間の関係を確立すること。
• 収束するポリグラフの融合を生成するものとして、関係の恒等式系の生成集合を示すこと。
• 関係の恒等式のホモトピー的および代数的解釈を、トラックnカテゴリのホモトピー基底の観点から与えること。

提案手法

• n-ポリグラフΣから自由なトラックnカテゴリΣ^topを構成し、これは群oidsに値をとる自由な(n−1)-カテゴリである。
• アーベル化されたトラックnカテゴリΣ^top_abを定義し、それを用いて提示されたnカテゴリ上の関係の自然な系Π(Σ)を定義する。
• BauesとJibladzeの結果を適用し、Π(Σ)を、その関連群oidsがAut^Σと同型となるような、一意なアーベル自然系として特徴付ける。
• 収束するポリグラフにおける臨界対から生じる融合図を用いて、生成融合を定義し、それがΠ(Σ)を生成することを示す。
• トラックnカテゴリΣ^topのホモトピー基底とΠ(Σ)の生成集合との間の対応を確立し、恒等式のホモトピー的解釈を活用する。
• 臨界対の解析と融合構造を用いて、ポリグラフが有限導出型をもてば、自然系Π(Σ)が有限生成であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群論における関係の恒等式の古典的概念を、高次元の書き換え系へどのように一般化できるか。
• RQ2 特に、nカテゴリの提示における関係の恒等式を捉えるのに適した圏的構造として、どのような自然な系が適切か。
• RQ3 関係の恒等式系が有限生成となる条件は何か。
• RQ4 収束するポリグラフにおける融合図と臨界対は、関係の恒等式系の生成元とどのように関係するか。
• RQ5 トラックnカテゴリのホモトピー基底と、関係の恒等式の生成集合との間の関係は何か。

主な発見

• 関係の恒等式の自然な系Π(Σ)は、アーベル化されたトラックnカテゴリΣ^top_abに付随するアーベル自然系として定義される。
• n-ポリグラフΣが有限導出型をもつならば、かつそのときに限り、系Π(Σ)は有限生成である。
• 収束するポリグラフの生成融合は、Π(Σ)の生成集合をなしており、各融合が系の生成元に対応する。
• 系Π(Σ)は、トラックnカテゴリΣ^topのホモトピー基底を用いて明示的に記述可能であり、代数的構造とホモトピー的構造を結びつける。
• 1つの生成元による自由アーベル群の提示の例では、Π(Σ)は単一の元⌊a₂a₂⁻⌋によって生成される。
• Π(Σ)の構造は交換関係と特定の項の消える性質（例：⌊a₁⌋ = 0）によって支配され、特定の状況では系が単一の生成元に簡略化される。