[論文レビュー] Identities and relations related to the numbers of special words derived from special series with Dirichlet convolution

İrem Küçükoğlu, Yılmaz Şimşek|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2018

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 16被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、ディリクレ畳み込みを用いて、ディリクレ級数、ラマヌジャン級数、ゼータ関数に関連する恒等式を導出する新しい数論的関数を導入する。主な結果として、ベルヌーイ数およびアポストル・ベルヌーイ数との明示的関係が得られ、保型形式のフーリエ展開と関連づけられ、数論および特殊関数における新たな解析的関係が確立される。

ABSTRACT

The aim of this paper is to define some new number-theoretic functions including necklaces polynomials and the numbers of special words such as Lyndon words. By using Dirichlet convolution formula with well-known number-theoretic functions, we derive some new identities and relations associated with Dirichlet series, Lambert series, and also the family of zeta functions including the Riemann zeta functions and polylogarithm functions. By using analytic (meromorphic) continuation of zeta functions, we also derive identities and formulas including Bernoulli numbers and Apostol-Bernoulli numbers. Moreover, we give relations between number-theoretic functions and the Fourier expansion of the Eisenstein series. Finally, we give some observations and remarks on these functions.

研究の動機と目的

• 組合せ的数論を用いて、ネックレス多項式やリンドン語の個数といった新しい数論的関数を定義すること。
• ディリクレ畳み込みとディリクレ級数、ラマヌジャン級数、ゼータ関数を結ぶ新しい恒等式を導出すること。
• ゼータ関数の解析接続を調べ、ベルヌーイ数およびアポストル・ベルヌーイ数と関連づけること。
• 数論的関数とエイゼンスタイン級数のフーリエ展開との間の関係を確立すること。
• 特殊な語の個数と多対数関数やゼータ関数といった特殊関数を結ぶ明示的公式を提供すること。

提案手法

• 数論的関数を用いて、ネックレス多項式 $ N_k(n) = \frac{1}{n} \sum_{d|n} \phi(n/d) k^d $ およびリンドン語の個数 $ L_k(n) = \frac{1}{n} \sum_{d|n} \mu(n/d) k^d $ を定義する。
• 生成関数の関係を導出し、級数の恒等式を導出するために、ディリクレ畳み込み $ (f * g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(n/d) $ を適用する。
• ディリクレ級数 $ F(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s} $ およびラマヌジャン級数 $ \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{x^n - 1} $ を用いて関数的関係を導出する。
• ゼータ関数の解析接続を用いて、恒等式を負の整数へ拡張し、ベルヌーイ数と関連づける。
• エイゼンスタイン級数 $ G(z,k,r,h) $ のフーリエ展開と、$ L_k(n) $ を含むラマヌジャン級数との関係を確立し、保型形式に類似した恒等式を得る。
• 級数の分解と畳み込みを用いて、新しいゼータ型関数 $ \zeta_2(x:k,s) $、$ \zeta_{2,\text{odd}}(x:k,s) $、および $ \zeta_{1,\text{even}}(x:k,s) $ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディリクレ畳み込みを用いて、ネックレスおよびリンドン語の個数をゼータ関数およびラマヌジャン級数に関連づける新しい恒等式をどのように生成できるか。
• RQ2 リンドン語の個数から導かれるゼータ型関数の解析接続は何か。また、ベルヌーイ数およびアポストル・ベルヌーイ数とどのように関係するか。
• RQ3 エイゼンスタイン級数のフーリエ展開と、リンドン語の個数を含むラマヌジャン級数との間にどのような関係があるか。
• RQ4 新しいゼータ関数 $ \zeta_2(x:k,s) $、$ \zeta_{2,\text{odd}}(x:k,s) $、および $ \zeta_{1,\text{even}}(x:k,s) $ は、どのように分解され、既知の特殊関数と関係するか。
• RQ5 特殊な語の母関数を、ディリクレ畳み込みおよび級数変換を用いて、保型形式およびL関数と体系的に関連づけられるか。

主な発見

• 本稿は、恒等式 $ \zeta_2(x:k,-m) = -\frac{B_m B_{m+1}(kx)}{m B_{m+1}} $ を導出し、負のゼータ値がベルヌーイ多項式およびベルヌーイ数と関連づけられることを示した。
• 恒等式 $ 2^s \zeta(s) \zeta_{2,\text{odd}}(x:k,s) = (2^s - 1) \zeta(s-1) \left( \text{Li}_s(kx) - \frac{1}{2^s} \text{Li}_s(k^2 x^2) \right) $ を確立し、奇数添え字のゼータ関数が多対数関数と関連づけられることを示した。
• 恒等式 $ \zeta_{2,\text{even}}(x:k,s) = \zeta_2(x:k,s) - \zeta_{2,\text{odd}}(x:k,s) $ により、全ゼータ関数が偶数部と奇数部に分解可能であることが明らかになった。
• 本稿は、$ \zeta_1,\text{even}(x:k,-m) = \frac{2^m B_m \left( B_{m+1}(kx) - (2^m - 1) B_{m+1}(k^2 x^2) \right)}{m B_{m+1}} $ を証明し、偶数添え字の値に対する閉形式を提供した。
• ラマヌジャン級数 $ H(n, e^{2\pi i z}) $ とエイゼンスタイン級数との間の関係が確立され、$ H(n, e^{2\pi i z}) = \sum_{d|n} \mu(n/d) \frac{d!}{2(-2\pi i)^{d+1}} \left( G(z,d+1,0,h) - 2Z(d+1,h) \right) $ が得られた。
• 素数 $ p $ に対して、$ H(p, e^{2\pi i z}) = \frac{p!}{2(-2\pi i)^{p+1}} \left( G(z,p+1,0,h) - 2Z(p+1,h) \right) + \frac{G(z,2,0,h) - 2Z(2,h)}{8\pi^2} $ が導出され、素数のリンドン語の個数が保型形式と関連づけられた。