[論文レビュー] Identities Involving Zeros of Ramanujan and Shanks Cubic Polynomials

Stefano Barbero, Umberto Cerruti+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ラマヌジャンの3次多項式（RCPs）とシャンクスの3次多項式（SCPs）の間に深い関係を確立し、SCPsの零点を用いてRCPsの零点に対する明示的な三角関数的表現を提示する。RCPsの零点が3次周期の有理関数変換のもとで巡回的に置き換えられることを証明し、コサインの累乗と整数列に関する新しい恒等式を導出し、OEISのA198636番のL. E. ジェファリーの予想を証明する。

ABSTRACT

In this paper we highlight the connection between Ramanujan cubic polynomials (RCPs) and a class of polynomials, the Shanks cubic polynomials (SCPs), which generate cyclic cubic fields. In this way we provide a new characterization for RCPs and we express the zeros of any RCP in explicit form, using trigonometric functions. Moreover, we observe that a cyclic transform of period three permutes these zeros. As a consequence of these results we provide many new and beautiful identities. Finally we connect RCPs to Gaussian periods, finding a new identity, and we study some integer sequences related to SCPs .

研究の動機と目的

• ラマヌジャンの3次多項式（RCPs）をシャンクスの3次多項式（SCPs）と関連付けることで、RCPsの新たな特徴付けを確立すること。
• SCPsの零点を用いて、RCPsの零点に対する明示的な三角関数的表現を導出すること。
• RCPsの零点が3次周期の有理関数変換のもとで巡回的に置き換えられることを示すこと。
• OEISのA198636に関するL. E. ジェファリーの予想、すなわち線形再帰的数列であるかどうかを証明すること。
• RCPs、ガウス周期、およびSCPsから導かれる整数列との関係を調査すること。

提案手法

• 2つの実数パラメータ $ h $ と $ s \neq 0 $ を用いてRCPsをパrameter化し、$ \rho(h,s,x) = x^3 + h s x^2 - (h+3)s^2 x + s^3 $ と表現する。
• ビエトの代入と複素根解析を用いて、SCPs $ \rho(h,-1,x) $ の零点に対する三角関数的表現を導出し、逆正 tangent 関数とコサイン関数を含む。
• 有理関数変換 $ \eta_s(z) = \frac{s^2}{s - z} $ を定義し、これが任意のRCPの3つの零点を巡回的に置き換えることを示す。
• 同伴行列法を用いて、SCPsの根の累乗和が線形再帰的整数列を形成することを示す。
• チェビシェフ多項式の固有値とトレース恒等式を用い、パスグラフ上の閉路の数をコサイン累乗和に関連付ける。
• 既知のガウス周期および円分体に関する結果を活用し、RCPsとガウス周期を結ぶ新しい恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラマヌジャンの3次多項式（RCPs）とシャンクスの3次多項式（SCPs）の関係は何か？この関係は、RCPsの新たな特徴付けを可能にするか？
• RQ2 任意のRCPの零点は、SCPsの零点を用いて明示的に三角関数関数で表現可能か？
• RQ3 変換 $ \eta_s(z) = \frac{s^2}{s - z} $ におけるRCPsの零点の巡回的置換の背後にある代数的構造は何か？
• RQ4 OEISの整数列A198636は線形再帰的数列であるか？L. E. ジェファリーの予想を満たすか？
• RQ5 RCPs、SCPs、ガウス周期、およびコサイン累乗和の相互作用から、どのような新しい恒等式が得られるか？

主な発見

• 任意のラマヌジャン3次多項式 $ \rho(h,s,x) $ の零点は、$ \left\{ \alpha, \frac{s^2}{s - \alpha}, -\frac{s(s - \alpha)}{\alpha} \right\} $ として明示的に与えられ、変換 $ \eta_s(z) $ に関して巡回的軌道を形成する。
• SCPs $ \rho(h,-1,x) $ の零点は、$ \frac{1}{3}\left(h \pm 2\sqrt{\tau(h)}\cos\left(\frac{1}{3}\left(\arctan\left(\frac{3\sqrt{3}}{3+2h}\right) + k\pi\right)\right)\right) $ で表され、$ \tau(h) = h^2 + 3h + 9 $、$ k = 0,2,4 $ を満たす。
• OEISの数列A198636は、再帰関係 $ A_{n+3} = 5A_{n+2} - 6A_{n+1} + A_n $ を満たす線形再帰的数列であることが証明され、$ A_n = 2^{2n}\left(\cos^{2n}\left(\frac{\pi}{7}\right) + \cos^{2n}\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \cos^{2n}\left(\frac{3\pi}{7}\right)\right) $ を満たす。
• RCPsとガウス周期を結ぶ新しい恒等式が、SCPsの同伴行列の累乗のトレースを用いて導出された。
• 根 $ \alpha, \beta, \gamma $ が $ \rho(h,-1,x) $ の解であるとき、累乗和 $ A(k,n) = \alpha^{kn} + \beta^{kn} + \gamma^{kn} $ は、特性多項式 $ x^3 - A(k,1)x^2 + B(k,1)x - 1 $ を持つ線形再帰的数列を形成する。
• $ h = -1 $ のとき、根は $ 2\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right), 2\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right), 2\cos\left(\frac{8\pi}{7}\right) $ であり、数列 $ A(2,n) $ はA198636と一致し、ジェファリーの予想が確認された。