[論文レビュー] If Archimedes would have known functions

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2014

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、関数、微分、積分を連続的微分積分法の組合せ的類似物として扱う、グラフ上の離散的微分積分法を提案する。微分を差分作用素として、積分を経路上の和として定式化することで、離散的微分積分の基本定理を確立し、微分形式とディラック作用素を用いて多変数設定へ拡張する。その結果、量子力学的および波動方程式がグラフ論的構造から自然に導かれることが示された。

ABSTRACT

These are notes and slides from a Pecha-Kucha talk given on March 6, 2013. The presentation tinkered with the question whether calculus on graphs could have emerged by the time of Archimedes, if the concept of a function would have been available 2300 years ago. The text first attempts to boil down discrete single and multivariable calculus to one page each, then presents the slides with additional remarks and finally includes 40 "calculus problems" in a discrete or so-called 'quantum calculus' setting. We also added some sample Mathematica code, gave a short overview over the emergence of the function concept in calculus and included comments on the development of calculus textbooks over time.

研究の動機と目的

• 関数、グラフ理論、行列代数がアーキメデスの時代に知られていたならば、グラフ上の微分積分が発展していた可能性を探ること。
• 関数を頂点および辺上で定義するグラフ上の離散的作用素を用いて、単変数および多変数微分積分を再定式化すること。
• 差分作用素と和作用素を用いて、離散的微分積分の基本定理の類似物を確立すること。
• 高次元形式、外微分積分法、およびグラフ上の微分方程式へこの枠組みを拡張すること。
• シュレーディンガー方程式や波動方程式といった主要な概念が、グラフ上の離散的経路積分および行列作用素から自然に生じることを示すこと。

提案手法

• 微分を差分作用素 $ Df(x) = f(x+1) - f(x) $ として定義し、積分を累積和 $ Sf(x) = \sum_{k=0}^{x-1} f(k) $ として定義する。ただし $ Sf(0) = 0 $ とする。
• 移動作用素 $ s $ および $ s^* $ を用いて $ Df = [s, f] $ を表現し、離散的微分の代数的取り扱いを可能にする。
• 単項式 $ [x]^n = X^n x $ を導入し、$ D[x]^n = n[x]^{n-1} $ が成り立つことを示す。これは連続的微分積分におけるべき乗則に類似している。
• 指数関数、三角関数、対数関数を $ \exp(a\cdot x) = (1+a)^x $ により定義し、それらの離散的微分および恒等式を導出する。
• 単体複体を用いたグラフ $ G $ 上の $ k $-形式を定義し、外微分作用素 $ d $ を導入し、部分グラフ上の積分を定義する。
• ディラック作用素 $ D = d + d^* $ および形式ラプラシアン $ L = dd^* + d^*d $ を用いて、経路積分解を介してシュレーディンガー方程式および波動方程式をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数、グラフ、行列がアーキメデスの時代に利用可能であったならば、関数、グラフ、行列に基づく離散的微分積分が古代に発展していた可能性はあるか？
• RQ2 整数上の差分作用素と和作用素を用いた離散的設定において、微分積分の基本定理をどのように再定式化できるか？
• RQ3 グラフに基づく微分積分法における指数関数、三角関数、対数関数の離散的類似物は何か？
• RQ4 グラフ上の離散的微分形式から、多変数微分積分、ストークスの定理およびガウスの定理をどのように導出できるか？
• RQ5 量子力学的および波動方程式をグラフ上の離散的経路積分として解釈できるか？また、行列指数関数を用いて古典的解に還元できるか？

主な発見

• 離散的微分積分の基本定理が成立する：$ DSf(x) = f(x) $ および $ SDf(x) = f(x) - f(0) $ であり、差分作用素と和作用素の双対性が裏付けられる。
• 単項式 $ [x]^n $ は $ D[x]^n = n[x]^{n-1} $ を満たし、連続的微分積分におけるべき乗則に類似している。
• 離散的指数関数 $ \exp(a\cdot x) = (1+a)^x $ は $ D\exp(a\cdot x) = a\exp(a\cdot x) $ を満たし、$ \exp(ia\cdot x) $ を用いて離散的正弦および余弦関数を定義する。
• シュレーディンガー方程式 $ f' = iDf $ の解は $ f(t) = e^{itD}f(0) $ で与えられ、これは長さ $ n $ のすべての経路の和として表現され、ファインマン＝カックの公式を一般化する。
• 波動方程式 $ f'' = -Lf $ の解は $ f(t) = \cos(Dt)f(0) + \sin(Dt)D^{-1}f'(0) $ で与えられ、解が行列指数関数を介して伝搬することを示す。
• 離散的ストークスの定理およびガウスの定理が成立する：$ \int_S dF = \int_{\partial S} F $ および $ \int_H dF = \int_{\partial H} F $ であり、それぞれグラフ上に定義された表面および立体に対して成り立つ。