[論文レビュー] Ill-posedness for nonlinear Schrodinger and wave equations

Michael Christ, J. Colliander+1 more|ArXiv.org|Nov 4, 2003

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 17被引用数 116

ひとこと要約

この論文は、スケーリング不変性やガリレオ不変量によって予測される臨界閾値より低い正則性 $s$ における非線形シュレーディンガー方程式および波動方程式の $H^s$ 空間における不適定性を確立する。ゼロ分散極限近似と平均値ゼロ、高周波数構造を持つ特定の周期的摂動初期データを用いて、解のノルムインフレーションと解写像の一様連続性の不成立を示し、ソリトン解や爆発例が利用できない焦点外ケースでは $s < s_c$ または $s < 0$ において不適定性を証明する。

ABSTRACT

The nonlinear wave and Schrodinger equations on Euclidean space of any dimension, with general power nonlinearity and with both the focusing and defocusing signs, are proved to be ill-posed in the Sobolev space of index s whenever the exponent s is lower than that predicted by scaling or Galilean invariances, or when the regularity is too low to support distributional solutions. This extends previous work of the authors, which treated the one-dimensional cubic nonlinear Schrodinger equation. In the defocusing case soliton or blowup examples are unavailable, and a proof of ill-posedness requires the construction of other solutions. In earlier work this was achieved using certain long-time asymptotic behavior which occurs only for low power nonlinearities. Here we analyze instead a class of solutions for which the zero-dispersion limit provides a good approximation.

研究の動機と目的

• 一般化非線形シュレーディンガー方程式（gNLS）および非線形波動方程式（gNLW）が、正則性 $s$ がスケーリング臨界閾値 $s_c = \frac{d}{2} - \frac{2}{p-1}$ より低い場合、または $s < 0$ の場合に $H^s$ 空間で不適定であることを確立すること。
• ソリトン解や爆発解が存在しない焦点外ケースに対処するため、ノルムインフレーションを示す代替的解の構成を行うこと。
• 従来の立方体1次元 NLS における不適定性結果を、一般のべき乗非線形性および高次元に拡張するため、ゼロ分散極限に基づく新規手法を用いること。
• 解写像の均一連続性の不成立を示し、$s < s_c$ または $s < 0$ の場合に、$s_c \geq 0$ であっても $H^s$ における初期値問題が不適定であることを示すこと。

提案手法

• 初期データ $u_0(x) = \delta \phi(Nx)\psi(x)$ を構成し、$\phi$ を周期的かつ平均値ゼロ、高周波数とする。ここで $\delta \ll 1$、$N \gg 1$、$\psi$ は滑らかなキャップ関数である。
• ゼロ分散極限を用いて非線形方程式の解を近似し、この領域では線形化系が輸送方程式に似た振る舞いを示すことに着目する。
• ドゥハメルの公式を用いて解の反復を解析し、非線形性と周期的構造の相互作用により、$t=1$ で非ゼロの寄与を持つ第1次非線形補正 $u^{(1)}$ が生じることを示す。
• 高周波数における解のフーリエ変換の $L^2$ ノルムを推定し、$\|\widehat{u^{(1)}}(1)\|_{L^2(B_a^A)} \gtrsim \delta^{2p}$ が成り立つことを示す。一方で線形部は $O(\delta N^{-1})$ であり、$N$ が大きいときノルムインフレーションが生じる。
• 有限速度伝播性と初期データの積構造を用いて、1次元の結果を $d \geq 2$ の高次元に拡張し、ノルムインフレーションの性質を保ったままにする。
• 局所的well-posedness理論を適用し、真の解を第1反復で近似することで、初期データの小さな摂動に対してもノルムインフレーションが持続することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケーリング臨界正則性 $s_c$ より低い $s$ において、非線形シュレーディンガー方程式が $H^s$ で局所的well-posedでないことは、焦点外ケースであっても成り立つか？
• RQ2 ソリトン解や爆発解が存在しない焦点外ケースにおいて、代替的解の構成を用いて不適定性を確立できるか？
• RQ3 標準的な例が利用できない非線形分散方程式において、ゼロ分散極限が不適定性の証明に有効な手法であるか？
• RQ4 平均値ゼロ、高周波数構造を持つ周期的初期データが、$s < s_c$ におけるノルムインフレーションを生成する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ5 解写像の均一連続性の不成立は、高周波数における $L^2$ ノルムインフレーションとしてどのように現れるか？

主な発見

• 一般化非線形シュレーディンガー方程式において、$s < s_c = \frac{d}{2} - \frac{2}{p-1}$ または $s < 0$ のとき、$H^s$ で不適定性が成立する。これは焦点外ケースであっても同様である。
• 一般化非線形波動方程式において、$s < \max(s_c, s_{\text{conf}})$ のとき不適定性が成立し、$s_{\text{conf}} = \frac{d+1}{4} - \frac{1}{p-1}$ である。同じ正則性制約下で成り立つ。
• ノルムインフレーションが発生する：初期データのノルム $\|u_0\|_{H^s} \lesssim \delta N^s$ のもとで、$t=1$ における解は $\|u(1)\|_{H^s} \gtrsim \delta^{2p}$ を満たす。$p > 1$ かつ $\delta \to 0$、$N \to \infty$ のとき、解の大きさが初期データの大きさに対して爆発的に増大する。
• 解写像は $s < s_c$ または $s < 0$ で一様連続でない。非線形補正 $u^{(1)}$ は $\delta^p$ のオーダーで増大するが、線形部は $\delta N^{-1}$ で減少するため、$N \to \infty$ のとき比が発散する。
• ゼロ分散極限と平均値ゼロ構造を持つ周期的初期データに基づくこの手法は、ソリトン解や爆発解が存在しない非線形分散方程式に対しても、不適定性を示す一般化可能なフレームワークを提供する。
• 有限速度伝播性と初期データの積形 $\eta(x')f(x_d)$ を用いて、$\mathbb{R}^1$ でノルムインフレーションを誘導する関数 $f$ を選ぶことで、$d \geq 2$ の高次元への拡張が可能である。