[論文レビュー] Ill-posedness for the Navier-Stokes equations in critical Besov spaces $\dot B^{-1}_{\infty,q}$

Baoxiang Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$1 \leq q \leq 2$ における臨界定義 Besov 空間 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ における非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の不適定性を、任意に小さな初期データに対し解写像が原点で不連続であることを示すことによって確立する。$BMO^{-1}$ ではグローバルな適定性が保証されているが、解は $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ で制御不能な増大を示すため、この臨界定義スケーリング不変空間における根本的な不安定性が明らかになる。

ABSTRACT

We study the Cauchy problem for the incompressible Navier-Stokes equation \begin{align} u_t -Δu+u\cdot abla u + abla p=0, \ \ { m div} u=0, \ \ u(0,x)= δu_0. \label{NS} \end{align} For arbitrarily small $δ>0$, we show that the solution map $δu_0 o u$ in critical Besov spaces $\dot B^{-1}_{\infty,q}$ ($\forall \ q\in [1,2]$) is discontinuous at origin. It is known that the Navier-Stokes equation is globally well-posed for small data in $BMO^{-1}$. Taking notice of the embedding $\dot B^{-1}_{\infty,q} \subset BMO^{-1}$ ($q\le 2$), we see that for sufficiently small $δ>0$, $u_0\in \dot B^{-1}_{\infty,q} $ ($q\le 2$) can guarantee that the Navier-Stokes equation has a unique global solution in $BMO^{-1}$, however, this solution is instable in $ \dot B^{-1}_{\infty,q} $ and the solution can have an inflation in $\dot B^{-1}_{\infty,q}$ for certain initial data. So, our result indicates that two different topological structures in the same space may determine the well and ill posedness, respectively.

研究の動機と目的

• 非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の臨界定義 Besov 空間 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$（$1 \leq q \leq 2$）における適定性を調査すること。
• $BMO^{-1}$ におけるグローバルな適定性が、より小さい空間 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ における安定性を保証するかという未解決の問題を解明すること。
• 初期データが非常に小さい場合でも、解写像 $\delta u_0 \to u$ が $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ において $\delta = 0$ で不連続であることを示すこと。
• 同じ方程式に対して適定性と不適定性を生じる関数空間の位相的構造の違いを明確にすること。

提案手法

• 任意に小さな $\delta > 0$ に対して、$\|u_0\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty,q}} \lesssim 1$ を満たす初期データ $\delta u_0$ の族を構成する。
• ナビエ＝ストークス方程式の積分形を用いて解 $u(\delta,t)$ の時間発展を分析する：$u(t) = e^{t\Delta}u_0 + \int_0^t e^{(t-\tau)\Delta}\mathbb{P}\textrm{div}(u\otimes u)(\tau)d\tau$。
• 周波数局在化と Littlewood-Paley 分解を用いて、$t \leq 1/N$ の短時間における $\|u(\delta,t)\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty,q}}$ の増大を推定する。
• 非線形項 $\partial_1 - \partial_2$ が $u_0 \otimes u_0$ に作用すると、$\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 内で $O(k^{1/q})$ の割合で増大する成分が生成され、これが不安定性の原因である。一方、$\dot{F}^{-1}_{\infty,q}$ ではその大きさは小さく保たれる。
• $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ と $BMO^{-1} = \dot{F}^{-1}_{\infty,2}$ の挙動を比較し、周波数局在成分が $BMO^{-1}$ では建設的干渉を示さないが、Besov 空間ではそうであることを示す。
• $\dot{B}^{-1}_{\infty,q} \subset BMO^{-1}$ および $BMO^{-1}$ における既知のグローバル適定性を用いて、より小さい空間における不安定性を隔離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナビエ＝ストークス方程式の解写像は、$1 \leq q \leq 2$ における臨界定義 Besov 空間 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ で連続か？
• RQ2 $BMO^{-1}$ におけるグローバル適定性は、より小さい空間 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ における安定性を保証するか？
• RQ3 $BMO^{-1}$ では小さくても、$\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ で解が制御不能に増大するのはなぜか？
• RQ4 周波数局在成分が $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ と $\dot{F}^{-1}_{\infty,q}$ でどのように異なるように相互作用するか？
• RQ5 初期データが小さい場合の $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ における解ノルムの正確な定量的増大率は何か？

主な発見

• すべての $n \geq 2$ および $1 \leq q \leq 2$ に対して、解写像 $\delta u_0 \to u(\delta,t)$ は $\delta = 0$ で $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}(\mathbb{R}^n)$ 内で不連続である。
• 任意の $N \gg 1$ に対して、$\|u_0\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty,q}} \lesssim 1$ を満たす初期データ $u_0 \in \dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ が存在し、$t \leq 1/N$ に対して $\|u(\delta,t)\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty,q}} \geq (\log N)^{1/2q}$ が成り立つ。
• 非線形項 $\partial_1 - \partial_2$ が $u_0 \otimes u_0$ に作用すると、$\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 内で $O(k^{1/q})$ の割合で増大する成分が生成され、これが不安定性の原因である。
• これに対して、同じ項は $t \leq 2^{-2k}$ に対して $\dot{F}^{-1}_{\infty,q}$ では $O(\varepsilon)$ で有界であり、$BMO^{-1}$ では解が小さいまま保たれることを示唆する。
• この結果は、同じ関数空間内でも異なる位相的構造が、一方では適定性、他方では不適定性を生じうることを示しており、ナビエ＝ストークス系がノルムの選択に極めて敏感であることを強調する。
• 不安定性はすべての $q \in [1, \infty)$ で持続するが、本論文では $q \in [1,2]$ に対して明示的に証明し、$q > 2$ への拡張が可能であると述べている。