[論文レビュー] Ill-posedness of the incompressible Euler equations in the $C^1$ space

Gerard Misiołek, Tsuyoshi Yoneda|arXiv (Cornell University)|May 8, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、2次元非圧縮性Euler方程式が$C^1$空間で局所的に悪定義であることを、$W^{1,p}$に属する初期渦度データの列を構成することで証明している。このデータは$C^1$ノルムにおけるノルムインフレーションを引き起こす。ラグランジュ的変形技術と$W^{1,p}$空間におけるKato-Ponceの良好定義性結果との矛盾を用いて、データから解への写像が$C^1$で連続でないことが示され、この古典的正則性空間における悪定義性が確立される。

ABSTRACT

We prove that the 2D Euler equations are not locally well-posed in $C^1$. Our approach relies on the technique of Lagrangian deformations and norm inflation of Bourgain and Li. We show that the assumption that the data-to-solution map is continuous in $C^1$ leads to a contradiction with a well-posedness result in $W^{1,p}$ of Kato and Ponce.

研究の動機と目的

• 2次元非圧縮性Euler方程式の古典的$C^1$空間における局所的良好定義性という未解決問題を解消すること。
• データから解への写像が$C^1$で連続でないことを示し、この空間における悪定義性を示すこと。
• ノルムインフレーションとラグランジュ的変形技術の枠組みを、以前未解決であった$C^1$エンドポイント空間に拡張すること。
• $C^1$の良好定義性を仮定した場合、$W^{1,p}$空間におけるKato-Ponceの良好定義性結果と矛盾することを確立すること。

提案手法

• 初期渦度$\omega_0 \in C^\infty_c(\mathbb{R}^2)$をコンパクトに台を持つように選び、原点に静止点をもち、奇対称性を持つようにして、ラグランジュ的流れにおける大きな変形勾配を誘発する。
• $\omega_{0,n} = \omega_0 + \beta_n$が$2 < p < \infty$に対して$W^{1,p}$に属し、制御された振動的構造を持つように、$\omega_0$の摂動$\beta_n$を定義する。
• Biot-Savart則を用いて速度場$u_n = \nabla^\perp \Delta^{-1} \omega_n$を復元し、それに対応する体積保存型流れ$\eta_n(t)$を定義する。
• 比較補題8を適用して、流れ$\eta_n(t)$と$\eta(t)$の差を評価し、データから解への写像の$C^1$連続性仮定のもとで$\|D\eta_n - D\eta\|_{\infty} \to 0$が成り立つことを示す。
• 流れの下での変数変換を用いて、$\omega_n(t)$の$W^{1,p}$ノルムを推定し、体積保存微分同相写像における$L^p$ノルムの不変性を活用する。
• 補題10の振動的推定を用いて、$\|d\beta_n(\nabla^\perp \eta_2(t_0))\|_{L^p}$の下界を導出し、$n$が大きいとき$M$のオーダーで増大することを示す。一方、他の項は$\theta_n \to 0$で抑えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元非圧縮性Euler方程式の初期値問題は、$C^1$空間で局所的に良好定義されているか？
• RQ2 滑らかな初期データでさえも、Euler方程式の解について$C^1$ノルムにおけるノルムインフレーションが生じ得るか？
• RQ3 $C^1$におけるデータから解への写像の連続性は、$W^{1,p}$空間における既知の良好定義性結果と矛盾するか？
• RQ4 ラグランジュ的変形技術を、$C^1$のようなエンドポイント正則性空間における悪定義性の証明に拡張できるか？

主な発見

• 2次元非圧縮性Euler方程式は$C^1(\mathbb{R}^2)$で局所的に悪定義であり、データから解への写像がこの空間で連続でないことが示された。
• $C^1$ノルムにおけるノルムインフレーションを示す、$W^{1,p}$に属する初期渦度$\omega_{0,n}$の列が構成された。
• $C^1$連続性の仮定は、$s > 1 + 2/p$に対して$\|\omega(t)\|_{W^{s-1,p}}$に一様なバウンディングを保証するKato-Ponceの結果と矛盾する。
• 摂動$\beta_n$は、$n$が大きいとき、渦度勾配の$L^p$ノルム寄与を$M$のオーダーで増大させるが、流れの差は$C^1$ノルムで消える。
• 変形勾配を強化するために、奇対称性と静止点構造を用いることで、$C^1$半ノルムにおける強いノルムインフレーションを保証する。
• 2次元Euler方程式の良好定義性において$C^1$空間の臨界性に関する長年の未解決問題が解決された。