[論文レビュー] Ill-posedness results in critical spaces for some equations arising in hydrodynamics

Tarek M. Elgindi, Nader Masmoudi|arXiv (Cornell University)|May 10, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 27被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、3次元Euler、Oldroyd-B、SQG、Boussinesq系を含む主要な流体力学方程式において、臨界正則性空間における強い$L^\infty$不適切性を、最小限の正則性仮定のもとで、新たな線形化解析フレームワークを用いて確立する。この手法により、$L^\infty$ノルムが非常に小さい初期データから出発する解が、任意に短い時間内に$L^\infty$ノルムが任意に大きく成長することを示し、臨界空間における初期データへの連続的でない依存性を示している。

ABSTRACT

Many questions related to well-posedness/ill-posedness in critical spaces for hydrodynamic equations have been open for many years. In this article we give a new approach to studying norm inflation (in some critical spaces) for a wide class of equations arising in hydrodynamics. As an application, we prove strong ill-posedness of the $n$-dimensional Euler equations in the class $C^1\cap L^2 (Ω)$ and also in $C^k \cap L^2(Ω)$ where $Ω$ can be the whole space, a smooth bounded domain, or the torus. We also apply our method to the Oldroyd B, surface quasi-geostrophic, and Boussinesq systems.

研究の動機と目的

• 流体力学方程式の臨界空間における適切性／不適切性に関する長年の未解決問題を解消すること。
• さまざまな領域における$C^1 \cap L^2$および$C^k \cap L^2$空間における$n$次元Euler方程式の$L^\infty$における強い不適切性を確立すること。
• この手法をOldroyd-B、表面準地軸的渦度（SQG）、Boussinesq系などの他の方程式へ拡張すること。
• 線形化解析と交換子推定を用いて、$L^\infty$ノルムインフレーションを証明する一般枠組みを提供すること。
• 初期データが$L^\infty$ノルムで非常に小さい場合でさえも、解が初期データに連続的でない依存性を示す可能性を示すこと。

提案手法

• リプシッツ型速度場と特異積分力を持つ輸送方程式における$L^\infty$ノルムインフレーションを研究するための新しい線形化フレームワークを開発する。
• $L^p$および$W^{1,p}$空間における交換子推定を用いて、流れにおける非線形摂動を制御する。
• ラグランジュ的流れ写像に沿った渦度方程式を解析することで、Euler方程式にこの手法を適用し、$L^\infty$で指数的成長を示す線形化系を導出する。
• $L^\infty$ノルムが非常に小さいが、密度または渦度の勾配の$L^\infty$ノルムが大きな初期データ列を$C^\infty_c$に構成する。
• 線形化進化を表す線形群$\exp(Lt)$を用い、交換子および非線形項を含む積分方程式を導出する。
• 非Euler系にこのフレームワークを適用する際、非局所作用素が仮定1を満たし、臨界Besov埋め込みが成り立つことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元Euler方程式は、$C^1 \cap L^2$空間において強い$L^\infty$不適切性を示せるか？
• RQ2 提案された線形化手法は、SQG やOldroyd-Bのような非局所作用素を有する方程式に対し、$L^\infty$ノルムインフレーションを生じるか？
• RQ3 この手法は$k \geq 1$の$C^k$正則性空間へ拡張可能か？
• RQ4 $L^\infty$ノルムが非常に小さい初期データに対しても、$L^\infty$ノルムにおける初期データへの連続的でない依存性が可能か？
• RQ5 非局所作用素および速度場にどのような条件が、線形化系における$L^\infty$ノルムインフレーションを保証するか？

主な発見

• 3次元Euler方程式は、$\Omega$が$\mathbb{R}^n$、滑らかな有界領域、またはトーラスである場合、$C^1 \cap L^2(\Omega)$で強い不適切性を示す。
• $L^\infty$ノルムが非常に小さい初期データだが、密度または渦度の勾配の$L^\infty$ノルムが大きな場合、$L^\infty$ノルムインフレーションが発生する。
• SQG方程式に関しては、$\partial_{tt}\hat{\omega} = -\frac{\xi_1^2}{|\xi|^2}\hat{\omega}$を満たす線形化系を介して、強い$L^\infty$不適切性が確立される。この系は、$L^\infty$で指数的成長を示す。
• Oldroyd-BおよびBoussinesq系に対しては、非局所作用素が仮定1を満たし、臨界Besov埋め込みが成り立つことから、この手法により弱い不適切性が証明される。
• 構成により、すべての$p < \infty$に対して初期に$W^{1,p}$に属するが、有限時間内に$W^{1,q}$（$q > 2$）を離れることを示す解が得られ、真の不適切性を示している。
• 主たる結果は、$|\nabla\rho^\epsilon|_{L^\infty} \geq \frac{c}{2}\epsilon t \log N - C\epsilon^2 t^2 (\log N)^2$であり、$t$が十分小さく$N$が十分大きい場合、任意の定数を超えるため、ノルムインフレーションが証明される。