[論文レビュー] Illiquidity and Derivative Valuation

Ulrich Horst, Felix Naujokat|ArXiv.org|Dec 31, 2008

Economic theories and models被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、複数の戦略的投資家が取引によって資産価格に影響を与える非流動的市場におけるデリバティブ評価のため、確率的微分ゲームの枠組みを構築する。線形市場インパクト下でナッシュ均衡の存在と一意性を確立し、リスク中立的およびCARA投資家に対する半閉形式の解を導出するとともに、スプレッドクロージングコストが市場操作を抑制することを示している。

ABSTRACT

In illiquid markets, option traders may have an incentive to increase their portfolio value by using their impact on the dynamics of the underlying. We provide a mathematical framework within which to value derivatives under market impact in a multi-player framework by introducing strategic interactions into the Almgren & Chriss (2001) model. Specifically, we consider a financial market model with several strategically interacting players that hold European contingent claims and whose trading decisions have an impact on the price evolution of the underlying. We establish existence and uniqueness of equilibrium results and show that the equilibrium dynamics can be characterized in terms of a coupled system of possibly non-linear PDEs. For the linear cost function used in Almgren & Chriss (2001), we obtain (semi) closed form solutions for risk neutral or CARA investors. Finally, we indicate how spread crossing costs discourage market manipulation.

研究の動機と目的

• 大規模なトレーダーが戦略的に資産価格に影響を与える非流動的市場におけるデリバティブ評価をモデル化すること。
• アルムグレント・クリス（2001）の市場インパクトモデルを、戦略的相互作用を含む複数プレーヤー設定に拡張すること。
• リスク中立的およびCARA効用関数の下で、取引戦略におけるナッシュ均衡の存在と一意性を確立すること。
• 市場インパクトとスプレッドクロージングコストが市場操作のインcentiveに与える影響を分析すること。
• 恒久的価格インパクトと戦略的行動を想定した均衡デリバティブ価格設定の数学的枠組みを提供すること。

提案手法

• 非流動的標的資産上のヨーロピアン・クオンタムを保有するN人の戦略的投資家間の連続時間確率的微分ゲームを定式化する。
• 各トレーダーの注文フローが価格過程に直接影響する線形コスト関数により、恒久的市場インパクトをモデル化する。
• アルムグレント・クリス（2001）のフレームワークを採用し、取引価格に流動性プレミアムを追加するが、在庫価値には追加しない。
• 確率的最適制御とナッシュ均衡条件から導かれる、おそらく非線形な偏微分方程式（PDE）の連立系として、均衡ダイナミクスを特徴付ける。
• 収縮写像と半群理論を用いて、再帰的時間区間上で短時間解を構成し、価値関数の存在性と正則性を保証する。
• 確率的制御における検証定理（フレミング＆ソナー、1993）を適用し、構築された解が真の価値関数に対応することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 市場インパクトと戦略的インcentiveを持つ複数プレーヤー市場において、デリバティブ証券をどのように公平に価格設定できるか？
• RQ2 恒久的市場インパクトを伴うデリバティブ価格設定ゲームにおいて、一意なナッシュ均衡が存在する条件は何か？
• RQ3 スプレッドクロージングコストが非流動的オプション市場における市場操作のインcentiveをどの程度低減するか？
• RQ4 リスク中立的またはCARA効用関数の下で、均衡戦略に対する半閉形式の解を導出できるか？
• RQ5 トレーダー間の戦略的相互作用は、単一エージェントモデルと比較して、デリバティブ価格設定のダイナミクスをどのように変化させるか？

主な発見

• 線形市場インパクト下で、リスク中立的またはCARA投資家に対して、絶対連続取引戦略のクラスにおいて一意なナッシュ均衡が存在する。
• 均衡ダイナミクスは、標準的なブラック・ショールズ枠組みを戦略的取引に一般化した非線形PDEの連立系によって特徴付けられる。
• アルムグレント・クリス（2001）の線形コスト関数に対して、リスク中立的およびCARA効用関数の両方で半閉形式の解が得られる。
• 本モデルは、スプレッドクロージングコストを含めることで、悪化する価格インパクトのコストが上昇するため、市場操作が抑制されることを示している。
• 価値関数が $\mathcal{C}^{1,2}$ であり、有界であることが示され、時間区間における再帰的可解性を保証する事前推定が得られている。
• 解は、コンパクト集合上で時間再帰的収縮写像の議論により構築されており、均衡経路の存在性と正則性が保証されている。