[論文レビュー] Images of Rational Maps of Projective Spaces

Binglin Li|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ベクトル空間の部分空間による商へへの線形射影によって誘導される、射影空間から射影空間の積への有理写像の閉包を研究する。モジュライ函手と初期退化を用いて、多重度を計算し、像多様体がコhen–マカウレイ的であることを証明し、部分空間の交差次元から得られる組合せ的データに基づいてそのヒルベルト多項式を導出する。

ABSTRACT

Consider a rational map from a projective space to a product of projective spaces, induced by a collection of linear projections. Motivated by the the theory of limit linear series and Abel-Jacobi maps, we study the basic properties of the closure of the image of the rational map using a combination of techniques of moduli functors and initial degenerations. We first give a formula of multi-degree in terms of the dimensions of intersections of linear subspaces and then prove that it is Cohen-Macaulay. Finally, we compute its Hilbert polynomials.

研究の動機と目的

• 射影空間から射影空間の積への有理写像の閉包の幾何的性質を体系的に研究すること。
• 従来の極限線形系列やムスタフィン退化に関する研究を一般化し、非自明な全交差を越える部分空間の交差制限を除外すること。
• 像多様体の多重度、ヒルベルト多項式、およびコhen–マカウレイ性を、完全に一般化された形で計算すること。
• 代数幾何学、コンピュータビジョン、代数統計の分野におけるこれらの多様体を統一的に理解するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 必要な交差条件を満たす線形部分空間の配置の存在および変形性質を確立するために、モジュライ函手を用いる。
• 所定の項順序のもとで初期退化技術を適用し、像多様体の初期イデアルを分析する。
• 部分空間の交差次元 $d_I = \dim(\bigcap_{i\in I} V_i)$ を含む組合せ的公式を用いて多重度を導出する。
• 単項式の数え上げではなく、初期退化のヒルベルト多項式を直接計算することでヒルベルト多項式を計算する。初期退化は射影空間の積の和集合である。
• 1次単項式イデアルとその交わりを用いた包含除算を用いて、成分の和集合のヒルベルト多項式を計算する。
• スキーム的同型 $\mathcal{Z}_1$、$\mathcal{Z}_2$、および $X(V_1,\dots,V_n)$ を証明し、スキーム的等式とコhen–マカウレイ性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形射影によって誘導される $\mathbb{P}(V)$ から $\prod_{i=1}^n \mathbb{P}(V/V_i)$ への有理写像の閉包の多重度は何か？
• RQ2 $X(V_1,\dots,V_n)$ がコhen–マカウレイ的である条件は何か？
• RQ3 $X(V_1,\dots,V_n)$ のヒルベルト多項式は、部分空間の交差の組合せ論的性質を用いてどのように計算できるか？
• RQ4 初期退化の構造は何か？ また、多重度とはどのように関係するか？
• RQ5 $X(V_1,\dots,V_n)$ の幾何的性質は、極限線形系列、コンピュータビジョン、ムスタフィン退化の構成をどのように統合するか？

主な発見

• 多様体 $X(V_1,\dots,V_n)$ の次元は $p = \max\{h : M(h) \neq \emptyset\}$ であり、$M(p)$ は交差次元制約によって定義される整数ベクトルの集合である。
• 多重度関数は、$M(p)$ に含まれる整数ベクトルの上でのみ値 1 を取り、それ以外では 0 である。
• 多様体 $X(V_1,\dots,V_n)$ のヒルベルト多項式は $\sum_{S\subset M(p)}(-1)^{|S|-1}\prod_{i=1}^n \binom{u_i + \ell_{S,i}}{\ell_{S,i}}$ で与えられ、ここで $\ell_{S,i}$ は $S$ 内の最小の $i$ 番目の成分である。
• 多様体 $X(V_1,\dots,V_n)$ はコhen–マカウレイ的であり、$\mathcal{Z}_1$、$\mathcal{Z}_2$、$X(V_1,\dots,V_n)$ 間のスキーム的同型と、重複度が 1 の初期退化への還元によって証明される。
• 多様体 $X(V_1,\dots,V_n)$ の初期退化は、$M(p)$ によってインデックス付けられた射影空間の積 $\prod_{i=1}^n \mathbb{P}^{m_i}$ の和集合であり、それらの交わりもまた射影空間の積である。
• ヒルベルト多項式は平坦な退化のもとで保存され、包含除算を初期退化の成分に適用することで計算される。この計算には、1次単項式イデアルの性質が用いられる。