[論文レビュー] Imbalances in directed multigraphs

S. Pirzada, T. A. Naikoo+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有向多重グラフ（r-グラフ）における不均衡を特徴づけ、整数列がr-グラフの不均衡列であるための必要十分条件を確立する。このような列は、rとグラフサイズを含む和の制約を満たす必要があり、GCD条件を満たす任意の実現可能な不均衡集合は、トランスミティブ構成によって弧数を最小化するr-グラフによって実現可能であることを示す。

ABSTRACT

In a directed multigraph, the imbalance of a vertex $v_{i}$ is defined as $b_{v_{i}}=d_{v_{i}}^{+}-d_{v_{i}}^{-}$, where $d_{v_{i}}^{+}$ and $d_{v_{i}}^{-}$ denote the outdegree and indegree respectively of $v_{i}$. We characterize imbalances in directed multigraphs and obtain lower and upper bounds on imbalances in such digraphs. Also, we show the existence of a directed multigraph with a given imbalance set.

研究の動機と目的

• 有向多重グラフ（r-グラフ）における頂点不均衡の構造と境界を特徴づけること、ここで頂点間の複数の弧が最大rまで許容される。
• 与えられた整数列がr-グラフの不均衡列であるための必要十分条件を特定すること。
• rと頂点の位置に基づいて、個々の頂点不均衡の下限および上限を定めること。
• 不均衡集合に最大公約数（GCD）条件が満たされる場合、指定された不均衡集合を有するr-グラフの存在を証明すること。

提案手法

• 不均衡の定義 $ b_{v_i} = d_{v_i}^+ - d_{v_i}^- $ を用い、ここで $ d_{v_i}^+ $ と $ d_{v_i}^- $ はr-グラフにおける出次数および入次数を表す。
• 和の制約を適用：すべての $ 1 \leq k < n $ に対して $ \sum_{i=1}^k b_i \geq rk(k - n) $ が成り立ち、$ k = n $ のとき等号が成立する。これは不均衡列の妥当性のための条件である。
• 有向三重項および二重項に対する変換を導入し、与えられた不均衡列に対して弧数を最小化するトランスミティブ構成を示す。
• 頂点の分割と制御された弧の向きを用いて、任意の不均衡集合 $ P \cup Q $ を実現する明示的なr-グラフを構築する。ただし、すべての絶対値のGCDがrを割り切る必要がある。
• 双対性および対称性の議論を用い、$ B $ が有効な不均衡列であれば $ -B $ も有効であることを示し、これにより個々の不均衡の境界を導出する。
• 2次不等式を適用し、不均衡の二乗和の上限を示し、すべての $ 1 \leq k \leq n $ に対して $ \sum_{i=1}^k b_i^2 \leq \sum_{i=1}^k (2rn - 2rk - b_i)^2 $ が成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数列がr-グラフの不均衡列として実現可能であるために満たすべき条件は何か？
• RQ2 任意の有限の整数集合（GCD制約を満たす場合）は、あるr-グラフの不均衡集合として実現可能か？
• RQ3 rと頂点インデックスに基づいて、r-グラフにおける頂点の不均衡の最もタイトな下限および上限は何か？
• RQ4 非トランスミティブなr-グラフを不均衡列を変えずにトランスミティブに変換する方法は何か？また、弧数に与える影響は？
• RQ5 不均衡の二乗和とr-グラフの構造的パラメータとの関係は何か？

主な発見

• 非減少順に整列された列 $ B = [b_1, b_2, \ldots, b_n] $ がr-グラフの不均衡列であるための必要十分条件は、すべての $ 1 \leq k < n $ に対して $ \sum_{i=1}^k b_i \geq rk(k - n) $ が成り立ち、$ k = n $ のとき等号が成立することである。
• r-グラフにおける頂点 $ v_i $ の不均衡 $ b_i $ は、$ r(i - n) \leq b_i \leq r(i - 1) $ を満たし、頂点の位置とrに基づくタイトな境界を提供する。
• 与えられた不均衡列を有するすべてのr-グラフの中で、トランスミティブなものは弧数を最小化する。これは、非推移的三重項および二重項に対する弧削減変換によって示される。
• 任意の不均衡列 $ B $ に対して、すべての $ 1 \leq k \leq n $ に対して $ \sum_{i=1}^k b_i^2 \leq \sum_{i=1}^k (2rn - 2rk - b_i)^2 $ が成り立ち、$ k = n $ のとき等号が成立する。
• 不均衡集合 $ P \cup Q $ を有するr-グラフが存在するための必要十分条件は、$ P = \{p_1, \ldots, p_m\} $、$ Q = \{-q_1, \ldots, -q_n\} $ とすると、すべての $ p_i $ および $ q_j $ のGCDがrを割り切り、かつ1以上r以下であることである。
• 任意のr-グラフの不均衡列は、符号反転に関して閉じている：$ B $ が実現可能であれば、$ [-b_n, \ldots, -b_1] $ も実現可能である。これは、逆向きの向き付けにおける入次数と出次数の双対性を反映している。