[論文レビュー] Immersing almost geodesic surfaces in a closed hyperbolic three manifold

Jeremy Kahn, Vladimir Marković|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Fuchsian面の擬等角変形とフレームフローの遍歴性を用いて、閉超曲面的3次元多様体内に、基本群への誘導写像が単射である閉かつ自己交叉をもつ曲面を構成する。主な結果は、$(1+\epsilon)$-準測地的かつ本質的であるような曲面の存在を示し、すべての閉超曲面的3次元多様体が、基本群への写像が単射である本質的かつ自己交叉をもつ埋め込み曲面を含むことを証明する。

ABSTRACT

Let M be a closed hyperbolic three manifold. We construct closed surfaces which map by immersions into M so that for each one the corresponding mapping on the universal covering spaces is an embedding, or, in other words, the corresponding induced mapping on fundamental groups is an injection.

研究の動機と目的

• すべての閉超曲面的3次元多様体が、基本群への誘導写像が単射である閉かつ自己交叉をもつ曲面を含むことを証明すること。
• 制御された幾何学的およびホロノミー的データをもつねじれパンツの貼り合わせとして、そのような曲面を構成すること。
• 複素数の半長とねじれ湾曲パラメータを用いて、基本群への誘導写像が単射である条件を確立すること。
• 単位接束上のフレームフローを用いて、等分布性をもつ性質をもつねじれパンツ上の測度を構成すること。
• 普遍被覆の境界写像が、擬等角写像に拡張可能であり、これにより曲面が準測地的であることを保証すること。

提案手法

• Fuchsian群 $ F_\epsilon $ を用いて、大きなカフ長とねじれ $ +1 $ をもつ群 $ g \circ F_\epsilon \circ g^{-1} $ をKlein群 $ \mathcal{G} $ 内に構成する。
• 3次元多様体 $ \mathbf{M}^3 $ の単位接束上でのフレームフローを用いて、フレーム上に $ \mathbb{C} $-作用を定義し、等分布性をもつねじれパンツ上の測度を構成する。
• 地図 $ \operatorname{foot}_\gamma(\Pi_\alpha) \in \mathbb{C}/(2\pi i\mathbb{Z} + \mathbf{hl}(\gamma)\mathbb{Z}) $ を定義し、測地線回りのパンツの幾何を追跡する。
• 各測地線 $ \gamma $ のまわりのパンツに対して、置換 $ \sigma_\gamma $ を定義し、$ |\operatorname{foot}_{\gamma}(\Pi_{\sigma_\gamma(\alpha)}) - \tau(\operatorname{foot}_{\gamma}(\Pi_\alpha))| < \epsilon/R $ を満たすようにする。ここで $ \tau(n) = n + 1 + i\pi $ である。
• トーラス $ N^1(\sqrt{\delta}) $ 上のユークリッド測度に対する測度 $ \beta(\delta) $ のRadon-Nikodym微分を定義し、$ r $ に関して指数的に1に近いことを示す。
• $ \mathbb{C} $-作用を用いて、トーラス全体にわたる微分が定数であることを示し、等分布性を保証するとともに、所望の曲面の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉超曲面的3次元多様体内に、基本群への誘導写像が単射である閉かつ自己交叉をもつ曲面を構成できるか？
• RQ2 パンツ分解および貼り合わせデータのどの幾何的条件下で、基本群への誘導写像が単射になるか？
• RQ3 フレームフローを用いて、等分布性を保証するねじれパンツ上の測度を構成できるか？
• RQ4 擬等角境界写像をどのように用いることで、曲面が準測地的かつ本質的であることを保証できるか？
• RQ5 複素数の半長とねじれ湾曲パラメータは、基本群写像の単射性を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• $ \epsilon > 0 $ 任意のに対して、リーマン面 $ S_\epsilon = \mathbb{H}^2 / F_\epsilon $ と、$ (1+\epsilon) $-擬等角写像 $ g $ が存在し、$ g \circ F_\epsilon \circ g^{-1} \subset \mathcal{G} $ を満たし、曲面を $ \mathbf{M}^3 $ に埋め込める。
• 得られた曲面 $ f(S_\epsilon) \subset \mathbf{M}^3 $ は、自己交叉をもつ $ \epsilon $-準測地的部分多様体であり、誘導写像 $ f_*: \pi_1(S_\epsilon) \to \pi_1(\mathbf{M}^3) $ は単射である。
• 複素数の半長が $ |\mathbf{hl}(C) - R| < \epsilon $ かつねじれ湾曲が $ |s(C) - 1| < \epsilon/R $ を満たす場合に、構成が成功する。ここで $ R > R(\epsilon) $ は十分に大きい。
• フレームフローを用いて構成されたねじれパンツ上の測度は等分布的であり、関連する測度 $ \beta(\delta) $ のRadon-Nikodym微分は、フローの長さスケール $ r $ に関して指数的に1に近い。
• 境界写像 $ \partial\widetilde{f} $ は、$ \partial\mathbb{H}^3 $ 上で $ (1 + K_0\epsilon) $-擬等角写像に拡張可能であり、これにより曲面がFuchsian面に擬等角的に近いことが保証される。
• 構成では、フレーム上の $ \mathbb{C} $-作用を用い、フレームフローの構造を保ちつつ、トーラス $ N^1(\sqrt{\delta}) $ 全体にわたる定数のRadon-Nikodym微分を導出可能である。