[論文レビュー] Immirzi parameter in the Barrett-Crane model?

Richard E. Livine|ArXiv.org|Mar 22, 2001

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ループ量子重力におけるImmirziパラメータと同様の変形パラメータを導入した制約付きBF理論の一般化を通じて、Barrett-Craneスピンフォーム模型におけるImmirziパラメータの役割を調査する。モデルで用いられる単純な表現は変化せず、幾何的構造が保たれる一方で、Immirziパラメータは面積スピン系に乗法的因子として現れ、ループ量子重力と整合的である。このモデルは、双ベクトル場の基底変換のもとで元のBarrett-Crane理論と等価のまま保たれ、Immirziパラメータは正準量子化における面積演算子の自然な出どころとして現れる。

ABSTRACT

We study the generalised constrained BF theory described in gr-qc/0102073 in order to introduce the Immirzi parameter in spin foam models. We show that the resulting spin foam model is still based on simple representations and that the generalised BF action is simply a deformation of the Barrett-Crane model. The Immirzi parameter doesn't change the representations used in the spin foam model, so it doesn't affect the geometry of the model. However we show how it may still appear as a factor in the area spectrum.

研究の動機と目的

• 一般化された制約付きBF理論を用いて、ImmirziパラメータをBarrett-Craneスピンフォーム模型に一貫して導入できるかを調査すること。
• Immirziパラメータの導入が、モデルの表現内容や幾何的構造を変化させるかを特定すること。
• 共変的スピンフォーム枠組み内でのImmirziパラメータが面積スペクトルに与える役割を明確化すること。
• スピンフォーム模型におけるImmirziパラメータの出現を、ループ量子重力における正準的起源と一致させること。
• Immirziパラメータを導入する場の再定義に対して、単純性制約が不変のままであるかを検討すること。

提案手法

• EuclideanおよびLorentz型重力の制約付きBF作用に、Immirziパラメータに関連する変形パラメータを導入し、修正された単純性制約を用いる。
• 双ベクトル場 $ B^{IJ} $ を tetrad とImmirziパラメータ $ \gamma $ を用いて表現し、$ B^{IJ} = \alpha *(e^I \wedge e^J) + \beta e^I \wedge e^J $ とし、$ \gamma = \alpha / \beta $ を示す。
• 新しい作用は、$ so(4) $ もしくは $ so(3,1) $ の代数における基底変換のもとで、元のBarrett-Craneモデルと等価であり、単純な表現の使用が保たれることを示す。
• BF作用に正準量子化技術を適用し、$ \gamma $ に依存する面積演算子へ導くポisson括弧構造を導出する。
• 面積スペクトルに $ \gamma $ の乗法的因子が現れ、ループ量子重力におけるスペクトルと一致することを示すが、スピンフォームモデルの表現内容は変化しない。
• 行列逆数とテンソル恒等式を用いて、二種類の単純性制約の形式（$ B^{IJ}_{ab}B^{ab}_{IJ} $ と $ \epsilon_{IJKL}B^{IJ}_{ab}B^{KLab} $）の等価性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたBF作用によるImmirziパラメータの導入が、Barrett-Craneスピンフォーム模型に非単純な表現を生じさせるか？
• RQ2 共変的スピンフォーム形式にImmirziパラメータを一貫して組み込むことは可能か？ その際、モデルの元の幾何的構造は変化しないか？
• RQ3 Immirziパラメータはスピンフォーム手法における面積演算子スペクトルにどのように影響を与え、ループ量子重力と整合的か？
• RQ4 Immirziパラメータを導入する場の再定義に対して、単純性制約が不変であるか？ これはモデルの物理的内容にどのような意味を持つか？
• RQ5 一般化された制約を用いた古典的BF作用から直接、$ \gamma $-依存のポisson括弧構造が導けるか？

主な発見

• Immirziパラメータはスピンフォームモデルの表現内容を変化させない。単純な表現のみが使用され、Barrett-Craneモデルの幾何的構造が保たれる。
• Immirziパラメータを含む一般化されたBF作用は、$ so(4) $ もしくは $ so(3,1) $ の代数における基底変換のもとで、元のBarrett-Craneモデルと等価であり、物理的自由度に新たなものを追加しない。
• Immirziパラメータは面積スペクトルに乗法的因子として現れ、$ \mathcal{A} = \gamma \sqrt{C_1} $ と表され、ループ量子重力と整合的である。
• 面積スペクトルは $ \Pi $ 場の正準量子化により導出され、ポisson括弧 $ \{ \mathcal{B}^2, \mathcal{C}^2 \} $ が $ \gamma $-依存性を生じる。
• $ \alpha $ と $ \beta $ を交換する $ * $-対称性は、ループ量子重力に知られている対称性 $ \gamma \leftrightarrow 1/\gamma $ を反映している。
• テンソル恒等式と行列逆数を用いて、二種類の単純性制約の形式の等価性を証明し、非退化な $ B $ フィールドに対して同じ解空間をもたらすことを示した。