[論文レビュー] Impartial avoidance games for generating finite groups

Bret J. Benesh, Dana C. Ernst+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限群上の公平回避ゲームのニム番号を決定する基準を提案する。プレイヤーは生成集合を形成しないように交互に群の元を選択する。最大部分群とその偶奇性を分析することで、可解群、散発的群、対称群のゲームのニム番号を分類し、それが偶数位の最大部分群が群を被覆するかどうかに依存することを示す。

ABSTRACT

We study an impartial avoidance game introduced by Anderson and Harary. The game is played by two players who alternately select previously unselected elements of a finite group. The first player who cannot select an element without making the set of jointly-selected elements into a generating set for the group loses the game. We develop criteria on the maximal subgroups that determine the nim-numbers of these games and use our criteria to study our game for several families of groups, including nilpotent, sporadic, and symmetric groups.

研究の動機と目的

• 回避ゲームのニム番号を特定するため、バーナーズの結果基準を拡張する。
• 有限群におけるゲームのニム番号と最大部分群の偶奇性との間の関係を確立する。
• さまざまな群族における「生成しない」（DNG）ゲームのニム番号を実用的に分類する手法を提供する。
• DNGゲームのニム番号がフレッティーニ部分群による商をとっても不変であることを証明し、計算の簡略化を可能にする。
• 部分群格子と構造ダイアグラムの分析を通じて、ゲームの構造的不変量を探索する。

提案手法

• 最大部分群を用いてバーナーズの条件を再定式化し、ニム番号計算の基準を導出する。
• 最小除外関数（mex）を用いて、ゲームの状態から再帰的にニム番号を計算する。
• 商群における最大部分群と元の群における最大部分群との関係を、対応定理を用いて関係づける。
• フレッティーニ部分群がすべての最大部分群に含まれることを活用し、ゲームのニム番号が商をとっても不変であることを示す。
• 部分群の交差に基づいて、ゲームの状態とその関係性を可視化するための構造ダイアグラムと図を構築する。
• GAPなどの計算ツールを用いて、SL(3,7) や PSL(3,7) などの特定の群に対して結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群 G における「生成しない」ゲームのニム番号は、その最大部分群の構造のみで決定可能か？
• RQ2 フレッティーニ部分群による商をとっても、ニム番号はどのように変化するか？
• RQ3 対称群、散発的群、可解群における回避ゲームのニム番号は何か？
• RQ4 N ≤ Φ(G) のとき、G における DNG ゲームの構造ダイアグラムは、G/N におけるそれと同型か？
• RQ5 再帰的な mex 計算を用いずに、最大部分群の性質のみでニム番号を計算可能か？

主な発見

• 有限群 G における DNG ゲームのニム番号は、*0 である *ちょうど* その偶数位の最大部分群の集合が G を被覆するときである。
• バーナーズの条件を満たす非巡回群では、ニム番号は最大部分群の偶奇性に依存し、偶数位の最大部分群が G を被覆するならば *0 である。
• 可解群における DNG ゲームのニム番号は、そのフレッティーニ商と同一であり、計算の簡略化が可能である。
• SL(3,7) における回避ゲームのニム番号は *3 である。これは、フレッティーニ商である PSL(3,7) が 69,008 個の偶数位、32,928 個の奇数位の最大部分群をもち、それらが群を被覆しないことによる。
• DNG ゲームの構造ダイアグラムは、フレッティーニ部分群による商をとっても保存され、ゲームの同値性が保たれる。
• 最大部分群の偶奇性と被覆条件に基づき、Corollary 6.4 に従うニム番号計算のチェックリストが提示されている。