[論文レビュー] Impatient Online Matching

Liu, Xingwu, Pan, Zhida+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2016

Optimization and Search Problems参考文献 12被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、最小コスト完全マッチング遅延問題（MPMD）に対する最初の多対数的競合比の上限を提示する。木埋め込みと木上での新規決定的アルゴリズムを活用することで、O(log n) の確率的競合比を達成した。また、MPMDに対しては初めての非定数下限Ω(√log n)を確立し、二部マッチング版（MBPMD）に対してはΩ(log^{1/3} n)を示し、オンラインマッチング遅延問題における競合比のギャップを大きく埋めた。

ABSTRACT

We consider the problem of online Min-cost Perfect Matching with Delays (MPMD) recently introduced by Emek et al, (STOC 2016). This problem is defined on an underlying $n$-point metric space. An adversary presents real-time requests online at points of the metric space, and the algorithm is required to match them, possibly after keeping them waiting for some time. The cost incurred is the sum of the distances between matched pairs of points (the connection cost), and the sum of the waiting times of the requests (the delay cost). We present an algorithm with a competitive ratio of $O(\log n)$, which improves the upper bound of $O(\log^2n+\logΔ)$ of Emek et al, by removing the dependence on $Δ$, the aspect ratio of the metric space (which can be unbounded as a function of $n$). The core of our algorithm is a deterministic algorithm for MPMD on metrics induced by edge-weighted trees of height $h$, whose cost is guaranteed to be at most $O(1)$ times the connection cost plus $O(h)$ times the delay cost of every feasible solution. The reduction from MPMD on arbitrary metrics to MPMD on trees is achieved using the result on embedding $n$-point metric spaces into distributions over weighted hierarchically separated trees of height $O(\log n)$, with distortion $O(\log n)$. We also prove a lower bound of $Ω(\sqrt{\log n})$ on the competitive ratio of any randomized algorithm. This is the first lower bound which increases with $n$, and is attained on the metric of $n$ equally spaced points on a line. The problem of Min-cost Bipartite Perfect Matching with Delays (MBPMD) is the same as MPMD except that every request is either positive or negative, and requests can be matched only if they have opposite polarity. We prove an upper bound of $O(\log n)$ and a lower bound of $Ω(\log^{1/3}n)$ on the competitive ratio of MBPMD with a more involved analysis.

研究の動機と目的

• 最小コスト完全マッチング遅延問題（MPMD）の既存の上限と下限の間のギャップを埋めること。
• 競合比に計測比∆に依存しないようにすること。これまでは上限がO(log²n + log ∆)に限られていた。
• MPMDおよびその二部マッチング版MBPMDに対して、初めての非定数下限を確立すること。
• 特にn個の等間隔点を持つ直線上でのメトリック空間における確率的アルゴリズムの競合比を分析すること。
• 決定的アルゴリズムの可能性と一般化されたメトリック制約を伴うk次元マッチングへの拡張を検討すること。

提案手法

• 高さhの辺重み付き木上でMPMDの決定的アルゴリズムを設計し、任意の妥当解の接続コストのO(1)倍、遅延コストのO(h)倍以内のコストを保証する。
• 確率的木埋め込み（特に階層的分離木の分布）を用いて、一般のn点メトリック上のMPMD問題を、O(log n)の歪みで木のケースに還元する。
• n個の等間隔点を持つ単位区間上に確率的敵対的インスタンスを構築し、パラメータr = ⌊(ln²/³ n)/4⌋、ρ = e^√r、a = 1/√rを用いて、制御された到着時刻と極性を持つリクエストを生成する。
• ランダムウォークの逸脱バウンドを用いて、任意の決定的アルゴリズムの期待コストを分析し、E[|csur(x)|] = O(√r)を示す。
• 敵対的インスタンスにおける最適解のコストがO(√r)であるのに対し、アルゴリズムの期待コストはΩ(r)であることを証明し、競合比の下限を得る。
• リクエストの極性が反対であることを許容することで、MBPMDへの下限構築を拡張し、同じ敵対的分布下での遅延コストと接続コストを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メトリック空間の計測比∆に依存しない、遅延付き最小コスト完全マッチングの競合比は有界にできるか？
• RQ2 n点メトリック空間上でのMPMDに対して、確率的アルゴリズムが達成可能な最良の競合比は何か？
• RQ3 MPMDおよびMBPMDの確率的アルゴリズムの競合比に対して、非定数下限は存在するか？
• RQ4 O(log n)を超える競合比を達成するために、木埋め込み手法を回避できるか？
• RQ5 一般メトリック上でのM(B)PMDにおける決定的アルゴリズムと確率的アルゴリズムの競合比ギャップは何か？

主な発見

• 本稿は、計測比∆に依存しないO(log n)の競合比を達成する確率的オンラインアルゴリズムを提示した。
• n点の直線メトリック上での任意の確率的アルゴリズムの競合比に対して、Ω(√log n)の下限を証明した。これはnに従って増加する最初の下限である。
• 二部マッチング版MBPMDに対しては、競合比の上限がO(log n)、下限がΩ(log^{1/3} n)であることを確立した。
• 敵対的インスタンスにおける最適解のコストは2ar + O(√r) + o(ar)で抑えられ、選択したパラメータではO(√r)に簡略化される。
• 任意の決定的アルゴリズムの敵対的インスタンス上での期待コストはΩ(r)であることが示され、MBPMDの競合比下限はΩ(√r) = Ω(log^{1/3} n)となる。
• 対称的なr+1ステップのランダムウォークの期待絶対偏差をバウンドすることで、E[|csur(x)|] = O(√r)を導出し、これは下限の根幹をなす。