[論文レビュー] Impermeability through a perforated domain for the incompressible 2D Euler equations

Christophe Lacave, Nader Masmoudi|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、サイズ $\varepsilon$ の小さな包含物が配置された領域における2次元非圧縮性Euler方程式の漸近的挙動を分析している。包含物の間隔は $d_\varepsilon$ である。主な結果は、流体の極限的挙動が比 $d_\varepsilon / \varepsilon$（1次元配置では $d_\varepsilon / \varepsilon^{2+1/\gamma}$）に強く依存することを示している。この比が無限大に近づく場合、流体は完全な平面と同様に振る舞う。比がゼロに近づく場合、多孔質媒体は不透過壁として作用し、極限解は固体障害物の外側でEuler方程式を満たす。

ABSTRACT

We study the asymptotic behavior of the motion of an ideal incompressible fluid in a perforated domain. The porous medium is composed of inclusions of size $\varepsilon$ separated by distances $d_\varepsilon$ and the fluid fills the exterior. If the inclusions are distributed on the unit square, the asymptotic behavior depends on the limit of $\frac{d_{\varepsilon}}\varepsilon$ when $\varepsilon$ goes to zero. If $\frac{d_{\varepsilon}}\varepsilon o \infty$, then the limit motion is not perturbed by the porous medium, namely we recover the Euler solution in the whole space. On the contrary, if $\frac{d_{\varepsilon}}\varepsilon o 0$, then the fluid cannot penetrate the porous region, namely the limit velocity verifies the Euler equations in the exterior of an impermeable square. If the inclusions are distributed on the unit segment then the behavior depends on the geometry of the inclusion: it is determined by the limit of $\frac{d_{\varepsilon}}{\varepsilon^{2+\frac1γ}}$ where $γ\in (0,\infty]$ is related to the geometry of the lateral boundaries of the obstacles. If $\frac{d_{\varepsilon}}{\varepsilon^{2+\frac1γ}} o \infty$, then the presence of holes is not felt at the limit, whereas an impermeable wall appears if this limit is zero. Therefore, for a distribution in one direction, the critical distance depends on the shape of the inclusions. In particular it is equal to $\varepsilon^3$ for balls.

研究の動機と目的

• 2次元非圧縮性Euler方程式が小さな包含物によって穿孔された領域において、その漸近的挙動を理解すること。
• 包含物のサイズ $\varepsilon \to 0$ の極限において、多孔質媒体が流体の流れに対して不透過的になる条件を特定すること。
• 領域が穿孔されていない場合と多孔質媒体が効果的に存在しない場合の流体の挙動の間の遷移を特徴づけること。
• 極限解に多孔質媒体の影響を与えるか否かを決定づける、包含物間隔 $d_\varepsilon$ と $\varepsilon$ 間の臨界スケーリングを同定すること。
• 特に側面境界の幾何的形状が、1次元配置における臨界スケーリングに与える影響を分析すること。

提案手法

• サイズ $\varepsilon$ の小さな包含物の外部領域で定義された非圧縮性2次元Euler方程式を用いて、流体の運動をモデル化する。
• 2つの配置を検討する：単位正方形上に配置された包含物（2次元）と、単位線分上に配置された包含物（1次元）、それぞれ間隔は $d_\varepsilon$ である。
• 2次元では比 $d_\varepsilon / \varepsilon$、1次元では $d_\varepsilon / \varepsilon^{2+1/\gamma}$ を極限 $\varepsilon \to 0$ の下で分析する。ここで $\gamma$ は障害物境界の幾何的性質を符号化する。
• コンパクトネスの議論と弱収束の技法を用いて、穿孔領域上のEuler方程式の極限に移行する。
• 臨界比がゼロに近づく場合、極限速度場が固体障害物の外部でEuler方程式を満たすことを確立する。
• 臨界比が無限大に近づく場合、極限解が完全空間におけるEuler解と一致することを証明し、多孔質媒体の影響がないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元領域における多孔質媒体の存在が、$\varepsilon \to 0$ の極限で流体に対して不透過的になる条件は何か？
• RQ2 包含物間隔 $d_\varepsilon$ と $\varepsilon$ のスケーリングが、流体が多孔質領域を透過できるかどうかをどのように決定づけるか？
• RQ3 特に側面境界の形状が、1次元配置における不透過性のための臨界スケーリングに果たす役割は何か？
• RQ4 極限解は完全空間におけるEuler解として特定可能か、それとも固体境界を伴う修正された方程式を満たすか？
• RQ5 多孔質媒体が実質的に見えなくなる領域と、不透過壁として作用する領域を分ける正確な臨界スケーリング $d_\varepsilon$ は何か？

主な発見

• 2次元正方形配置において $d_\varepsilon / \varepsilon \to \infty$ ならば、極限解は完全平面におけるEuler解と一致し、多孔質媒体の影響がないことを示す。
• 2次元正方形配置において $d_\varepsilon / \varepsilon \to 0$ ならば、流体は多孔質領域に浸透できず、極限速度場は不透過性正方形の外部でEuler方程式を満たす。
• 1次元線分配置において、多孔質媒体が見えなくなるための臨界スケーリングは $d_\varepsilon / \varepsilon^{2+1/\gamma} \to \infty$ である。この比がゼロに近づくと、不透過壁が出現する。
• 1次元における球形包含物では、臨界スケーリングは $\varepsilon^3$ であり、$d_\varepsilon \ll \varepsilon^3$ のとき不透過性が成立する。
• 領域の遷移は、障害物境界の幾何的性質を符号化するパラメータ $\gamma$ に敏感に依存する。
• 極限挙動は、速度場の弱収束とコンパクトネスの議論によって特徴づけられ、不透過領域では固体境界を伴うEuler方程式の解として極限が特定される。