[論文レビュー] Implausible Consequences of Superstrong Nonlocality

Wim van Dam|ArXiv.org|Jan 27, 2005

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 54

ひとこと要約

この論文は、超強力な非局所的相関—Bell/CHSH不等式を最大限に破る（最大4まで）—が存在すると仮定した場合、いかなる分散計算もたった1ビットの通信で解けること、したがってすべての通信複雑性クラスが自明になることを示している。この「計算の無料ランチ」は、確立された計算複雑性の階層と矛盾するため、相対性理論的因果律を保つにもかかわらず、このような相関は物理的にあり得ないと考えられる。

ABSTRACT

This Letter looks at the consequences of so-called 'superstrong nonlocal correlations', which are hypothetical violations of Bell/CHSH inequalities that are stronger than quantum mechanics allows, yet weak enough to prohibit faster-than-light communication. It is shown that the existence of maximally superstrong correlated bits implies that all distributed computations can be performed with a trivial amount of communication, i.e. with one bit. If one believes that Nature does not allow such a computational 'free lunch', then the result in the Letter gives a reason why superstrong correlation are indeed not possible.

研究の動機と目的

• 量子の限界を超えるが相対性理論的因果律を尊重する超強力な非局所的相関の物理的妥当性を調査すること。
• このような相関が、分散計算における既存の通信複雑性の階層の崩壊を引き起こすかどうかを検討すること。
• 通信複雑性の自明化が、量子力学とは独立して超強力な非局所性を排除する根本的な物理的原理であると主張すること。

提案手法

• CHSH相関和が4に達する確率分布によって定義される、最大非局所的相関を持つ玩具理論を構築する。
• 相関を共有PRボックスとしてモデル化し、すべての入力ペアに対して完全な相関を満たすが、$ x=y=1 $ を除く。ここで $ m^A_x + m^B_y \equiv x \cdot y \pmod{2} $ を満たす。
• PRボックスの相関を用いて、内積関数 $ \textsc{IP}_N $ を1ビットの通信でシミュレートする。ボブが1ビットの和を計算しブロードキャストすることで実現する。
• 任意の全Boolean関数 $ f(\vec{x}, \vec{y}) $ に対して、$ \sum_i P_i(\vec{x}) \cdot Q_i(\vec{y}) $ の積和に書き直し、各項をPRボックスでシミュレートする。
• ボブが和の自身の部分を独立に計算し、1ビットをブロードキャストすることで、アリスが完全に誤差なしに関数値を再構成できるようにする。
• このことから、超強力な非局所性の仮定のもとでは、入力サイズにかかわらず、いかなる分散関数も1ビットの通信で計算可能であると示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超強力な非局所的相関（CHSHを最大4まで破る）が存在すると、分散計算における通信複雑性が崩壊するだろうか？
• RQ2 PRボックスが最大相関を持つ場合、任意の分散Boolean関数をたった1ビットの通信で計算できるか？
• RQ3 通信複雑性の自明化が、因果律を保つとしても、超強力な非局所性を排除する物理的原理として機能するだろうか？
• RQ4 （例：$ 2+\sqrt{2} $ など）非局所性の臨界閾値が、非自明な通信複雑性と自明な通信複雑性を分けるものであり、量子力学とは独立に存在するだろうか？
• RQ5 量子力学における境界値 $ 2+\sqrt{2} $ が、通信複雑性が非自明のままであるという要請から導かれるだろうか？

主な発見

• CHSH相関和が4に達する超強力な非局所性は、1ビットの通信のみでいかなる分散Boolean関数も正確に計算可能である。
• 内積関数 $ \textsc{IP}_N $ は、入力サイズ $ N $ にかかわらず、超強力な相関を用いれば1ビットの通信で計算可能である。
• 任意の全Boolean関数 $ f(\vec{x}, \vec{y}) $ は、$ \sum_i P_i(\vec{x}) \cdot Q_i(\vec{y}) $ の形に分解可能であり、各項はPRボックスを用いて1ビット通信でシミュレート可能である。
• ボブは和の自身の部分を独立に計算し、1ビットをブロードキャストすることで、アリスが関数値を正確に再構成できる。
• このような相関の存在は、通信複雑性クラスの階層を消失させ、すべての分散問題が同程度に簡単であることを示唆する。
• この計算複雑性の崩壊は、相対性理論的因果律を保つにもかかわらず、超強力な非局所性の存在を物理的に否定する強力な根拠を提供する。