[論文レビュー] Implementation of the HMC algorithm on the tempered Lefschetz thimble method

Masafumi Fukuma, Nobuyuki Matsumoto+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Theoretical and Computational Physics参考文献 37被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、フェルミオン系における数値的符号問題に対処するため、トゥーレッド・レフシェッツ・チムブル法（TLTM）にハイブリッドモンテカルロ（HMC）アルゴリズムを実装する。分子動力学におけるRATTLEアルゴリズムの流れを伴う表面への適応と、フェルミオン行列式のゼロに対する堅牢な取り扱いを実現することで、2×2 Hubbardモデルのテストにおいて、メトロポリス法に比べ計算コストを70%削減し、自己相関時間も顕著に短縮した。

ABSTRACT

The tempered Lefschetz thimble method (TLTM) is a parallel-tempering algorithm towards solving the numerical sign problem, where the system is tempered by the antiholomorphic gradient flow to tame both the sign and ergodicity problems simultaneously. In this paper, we implement the hybrid Monte Carlo (HMC) algorithm for transitions on each flowed surface, expecting that this implementation on TLTM will give a useful framework for future computations of large-scale systems including fermions. Although the use of HMC in Lefschetz thimble methods has been proposed so far, our crucial achievement here is that HMC is implemented on TLTM so as to work within the parallel-tempering algorithm in TLTM, especially by developing an algorithm to handle zeros of fermion determinants in the course of the molecular-dynamics process. We confirm that the algorithm works correctly by applying it to the sign problem of the Hubbard model on a small lattice, for which the TLTM is known to work with the Metropolis algorithm. We show that the use of HMC significantly reduces the autocorrelation times with less computational times compared to the Metropolis algorithm.

研究の動機と目的

• フェルミオン系において自己相関が高く、混合が遅いため、メトロポリス法に限界を示すTLTMにおける課題を克服すること。
• フェルミオンを含む大規模なシミュレーションにおいて、効率を向上させるためにHMCをTLTMに実装すること。
• 流れを伴うチムブル表面における分子動力学の過程で生じるフェルミオン行列式のゼロを扱う手法を開発すること。
• 小スケールの格子を用いたベンチマークとしてHubbardモデルを用いて、HMCのTLTMへの実装を検証すること。
• HMCをTLTMに適用することで、メトロポリス法に比べて計算コストと自己相関時間の両方を低減できることを示すこと。

提案手法

• 流れを伴う表面Σₜ上での分子動力学を実行するために、RATTLEアルゴリズムを適応し、速度-ベルレ統合を用いて制約の保存を確保する。
• Σₜ上での制約付き運動方程式を解くために、ステップサイズを適応的に制御し、再スケーリングを組み込んだニュートン・ラプソン反復スキームを導入する。
• Dₜ（フェルミオン行列式のゼロへと流れる領域）への到達を検出・回避するための基準を導入し、Dₜに近づいた段階で停止条件とする。
• ニュートン反復が失敗した場合やDₜに進入した場合には、詳細つり合いを保つために、運動量反転（Ψ）をフォールバックとして採用する。
• HMCのダイナミクスをTLTMフレームワークに統合し、異なる流れ時間tにおける並列温度交換を可能にする。
• Nₛ=2×2およびNₜ=5のHubbardモデルにアルゴリズムを適用し、正確な解とメトロポリスベースのTLTMとの比較を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルミオンを含む系におけるサンプリング効率の向上を図るため、HMCをTLTMフレームワークに成功裏に実装できるか？
• RQ2 流れを伴うチムブル表面における分子動力学の過程で、フェルミオン行列式のゼロを扱う際、可逆性を損なわずに処理する方法は何か？
• RQ3 符号問題が顕著な系において、HMCをTLTMに適用することで、メトロポリス法に比べて自己相関時間と計算コストが低減されるか？
• RQ4 Hubbardモデルにおいて半フィルインから離れた領域に適用した場合、HMC拡張TLTM法は安定的かつ正確に機能するか？
• RQ5 フェルミオン行列式のゼロに近い領域を走破する際、詳細つり合いとエルゴディシティを維持しながらアルゴリズムが動作するか？

主な発見

• 2×2 Hubbardモデルにおいて、HMCをTLTMに実装することで、独立な配置ごとの計算コストがメトロポリス法の約30%にまで削減された。
• 自己相関時間は顕著に短縮され、収束速度が向上し、サンプリング効率が向上していることが示された。
• Hubbardモデルにおける数密度について、正確な結果を正しく再現しており、アルゴリズムの正確性が確認された。
• 再スケーリングと領域検出を組み合わせた反復的ニュートン法によるフェルミオン行列式のゼロの取り扱いは、堅牢性と安定性を確保している。
• 解が発散するか、禁止領域に進入した場合には運動量反転を用いることで、詳細つり合いと可逆性を維持している。
• このフレームワークはスケーラブルであり、自由度の高い大規模系ではさらに顕著な効率向上が期待できる。