[論文レビュー] Implementing Anti-Unification Modulo Equational Theory

Jochen Burghardt, Birgit Heinz|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2014

Logic, programming, and type systems参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、等式理論に関して一般化を計算するために、正規木文法を用いたE-反統一の効率的実装を提示する。これにより、すべての可能な一般化のコン pact で有限の表現が可能になる。本手法は、補題生成、知的テスト、理論形成の応用を可能にし、重複を排除した効率的な最小一般化の列挙を実現する。

ABSTRACT

We present an implementation of E-anti-unification as defined in Heinz (1995), where tree-grammar descriptions of equivalence classes of terms are used to compute generalizations modulo equational theories. We discuss several improvements, including an efficient implementation of variable-restricted E-anti-unification from Heinz (1995), and give some runtime figures about them. We present applications in various areas, including lemma generation in equational inductive proofs, intelligence tests, diverging Knuth-Bendix completion, strengthening of induction hypotheses, and theory formation about finite algebras.

研究の動機と目的

• 等式理論 E に関するすべての E-一般化のコン pact で有限の表現を構築し、無限の列挙を回避すること。
• 効率性と実用的応用性を向上させるために、変数制限付き E-反統一の実装。
• 帰納的証明の補題や数列法則など、等式系における一般パターンの自動発見を可能にすること。
• 量化子を含まない変数有界の定理の閉じた表現を計算することで、有限代数における理論形成を支援すること。
• 実世界での利用を想定した実行時最適化アルゴリズムと、実験的性能測定の提供。

提案手法

• 等式理論 E に関する項の同値類を正規木文法（種別）で表現することで、一般化の有限表現を可能にする。
• 2つの種別の構文的一般化を、E に関して統一可能なすべての項を捉える木文法を用いて計算する。
• 反狭義化を用いて一般化を列挙し、重複または無意味な候補を避けるための最適化を施す。
• 変数制限を適用して一般化の範囲を制限し、効率性と関連性を向上させる。
• 有限代数、特に $\mathbb{N}\text{ mod }2$、$\mathbb{N}\text{ mod }3$、およびブール論理を対象に、PROLOG を用いたシステムを実装し、性能測定を実施。
• 重複除去と最小項の列挙を統合し、簡潔で利用可能な一般化を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規木文法を用いた E-反統一は、無限の一般化集合をコン pact に表現できるように、効率的に実装可能か？
• RQ2 変数制限付き E-反統一は、等式理論における一般化の関連性と効率性をどのように向上させるか？
• RQ3 有限代数における等式理論に関する一般化の計算に伴う性能オーバーヘッドは何か。また、最適化可能か？
• RQ4 本手法は、帰納的証明における補題生成や数列完成の応用において、意味のある一般化を生成可能か？
• RQ5 本手法を用いて、有限代数におけるすべての有効な量化子を含まない変数有界の定理の閉じた表現を計算することは可能か？

主な発見

• 正規木文法を用いた E-一般化の実装は成功裏に達成され、無限の一般化集合のコン pact で有限の表現が得られた。
• $\mathbb{N}\text{ mod }2$ で3変数の場合、システムは3892秒を要し、105個の重複しない方程式を生成した。これは中程度の問題に対するスケーラビリティを示している。
• $\mathbb{N}\text{ mod }3$ にブール演算子を含む場合、システムは48秒で307個の重複しない方程式を生成した。これはより豊かな理論においても効率的であることを示している。
• 本手法は、$x*x$ を平方数 $0, 1, 4, 9$ の一般化として効果的に計算でき、構文的反統一ではこのパターンを捉えられないことを示している。
• システムは重複するインスタンスを検出し、削除することで出力サイズを顕著に削減した。例えば、無限集合から307個の重複しない方程式にまで縮小された。
• 本手法により、有限代数におけるすべての有効な量化子を含まない変数有界の論理式の閉じた表現が計算可能となり、理論形成が可能になった。