[論文レビュー] Implication Zroupoids and Identities of Associative Type

Juan M. Cornejo, Hanamantagouda P. Sankappanavar|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、長さ3の結合的型の恒等式によって定義される含意ズルポイド（I-zroupoids）の部分多様体を完全に分類し、それらはちょうど8つの異なる部分多様体であることを証明している。さらに、対称的I-zroupoidsにおいては、このような恒等式からちょうど3つの異なる部分多様体が生じ、それらは厳密な包含関係の鎖をなす：ブール代数 ⊂ 最小元をもつ半畳み代数 ⊂ 対称的I-zroupoids。

ABSTRACT

An algebra $\mathbf A = \langle A, o, 0 angle$, where $ o$ is binary and $0$ is a constant, is called an implication zroupoid ($\mathcal I$-zroupoid, for short) if $\mathbf A$ satisfies the identities: $(x o y) o z \approx [(z' o x) o (y o z)']'$ and $ 0'' \approx 0$, where $x' : = x o 0$, and $\mathcal I$ denotes the variety of all $\mathcal I$-zroupoids. An $\mathcal I$-zroupoid is symmetric if it satisfies $x'' \approx x$ and $(x o y')' \approx (y o x')'$. The variety of symmetric $\mathcal I$-zroupoids is denoted by $\mathcal S$. An identity $p \approx q$, in the groupoid language $\langle o angle$, is called an identity of associative type of length $3$ if $p$ and $q$ have exactly 3 (distinct) variables, say x,y,z, and are grouped according to one of the two ways of grouping: (1) $\star o (\star o \star)$ and (2) $(\star o \star) o \star$, where $\star$ is a place holder for a variable. A subvariety of $\mathcal I$ is said to be of associative type of length $3$, if it is defined, relative to $\mathcal I$, by a single identity of associative type of length $3$. In this paper we give a complete analysis of the mutual relationships of all subvarieties of $\mathcal I$ of associative type of length $3$. We prove, in our main theorem, that there are exactly 8 such subvarieties of $\mathcal I$ that are distinct from each other and describe explicitly the poset formed by them under inclusion. As an application of the main theorem, we derive that there are three distinct subvarieties of the variety $\mathcal S$, each defined, relative to $\mathcal S$, by a single identity of associative type of length $3$.

研究の動機と目的

• 長さ3の結合的型の恒等式によって定義される含意ズルポイド（I）の部分多様体を完全に特徴づけること。
• これらの部分多様体の包含関係を特定し、それらの相互構造を確立すること。
• これらの恒等式を対称的I-zroupoids（S）の部分多様体に制限し、S内での異なる部分多様体を同定すること。
• 恒等式（A1）、（A11）、（A14）がこれらの部分多様体を定義する役割とそれらの論理的関係を明確にすること。
• 含意ズルポイドの部分多様体の格子構造に関する未解決問題を、この特定の恒等式クラスについて完全かつ明示的なposet構造を提供することで解決すること。

提案手法

• 含意ズルポイド（I-zroupoids）を、(I) (x→y)→z ≈ [(z′→x)→(y→z)′]′ および (I0) 0′′ ≈ 0 を満たす代数 ⟨A, →, 0⟩ として定義する。ここで x′ := x→0 である。
• 長さ3の結合的型の恒等式の概念を導入する：3つの異なる変数を (x→y)→z もしくは x→(y→z) の形にグループ化した恒等式で、合計14通りの恒等式が可能である。
• 等式的推論と格子論的技法を用いて、これらの恒等式によって定義される部分多様体間の包含関係を分析する。
• 主定理（定理4.2）を適用し、長さ3の結合的型の恒等式の14通りすべてを分類し、それらがちょうど8つの異なるIの部分多様体を生成することを証明する。
• 対称的I-zroupoids（S）に分析を制限する。Sは x′′ ≈ x および (x→y′)′ ≈ (y→x′)′ によって定義され、同じ恒等式によって誘導されるSの部分多様体を導出する。
• モデル理論的議論と反例（例：4要素の代数）を用いて、厳密な包含関係や非包含関係（例：BA ⊈ S₁₄）を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ3の結合的型の恒等式によって定義される含意ズルポイドの部分多様体は、ちょうど何個存在するか？
• RQ2 含意ズルポイドの多様体内におけるこれらの部分多様体の完全な包含関係構造（poset）は何か？
• RQ3 対称的含意ズルポイドの部分多様体に制限した場合、これらの部分多様体のうちどれが相異なるか？
• RQ4 ブール代数の多様体と、結合的型の恒等式によって定義される対称的含意ズルポイドの部分多様体との関係は何か？
• RQ5 IとSの両方において同じ部分多様体を定義する結合的型の恒等式は存在するか？もしあるならば、それらの関係は何か？

主な発見

• 長さ3の結合的型の恒等式によって定義される含意ズルポイド（I）の部分多様体は、ちょうど8つ存在する。
• これらの8つの部分多様体のposetは完全な包含階層を形成し、最小元は最小元をもつ半畳み代数（SL）の多様体であり、最大元は全多様体Iである。
• 対称的I-zroupoids（S）に制限した場合、長さ3の結合的型の恒等式から生じる部分多様体は3つに限られる：SL、S₁₄、およびS。
• これらの3つの部分多様体は厳密な包含関係の鎖をなす：SL ⊂ S₁₄ ⊂ Sであり、S₁₄は真の中間部分多様体である。
• 4要素の代数による反例により、ブール代数（BA）はS₁₄に含まれないことが示された。
• 部分多様体S₁₄は恒等式（A14）：(x→y)→(z→x) ≈ (x→z)→(y→x) によって定義され、SLとSの間で厳密に位置づけられる。