[論文レビュー] Implicit and semi-implicit second-order time stepping methods for the Richards equation

Sana Keita, Abdelaziz Beljadid+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2021

Numerical methods for differential equations被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、湿度と圧力ヘッドを主変数として用いた混合有限要素法を用いて、リチャーズ方程式に対する2次精度で半陽的な時間積分スキームを提案する。本手法は時間方向の外挿法と半陽的テイラー近似を用いて非線形項を線形化し、高い精度と安定性を達成する。数値結果から、半陽的$(S,\psi)$-スキームが、精度、効率、収束安定性の面で陽的および他の混合形式を上回ることが示された。

ABSTRACT

This study concerns numerical methods for efficiently solving the Richards equation where different weak formulations and computational techniques are analyzed. The spatial discretizations are based on standard or mixed finite element methods. Different implicit and semi-implicit temporal discretization techniques of second-order accuracy are studied. To obtain a linear system for the semi-implicit schemes, we propose second-order techniques using extrapolation formulas and/or semi-implicit Taylor approximations for the temporal discretization of nonlinear terms. A numerical convergence study and a series of numerical tests are performed to analyze efficiency and robustness of the different schemes. The developed scheme, based on the proposed temporal extrapolation techniques and the mixed formulation involving the saturation and pressure head and using the standard linear Lagrange element, performs better than other schemes based on the saturation and the flux and using the Raviart-Thomas elements. The proposed semi-implicit scheme is a good alternative when implicit schemes meet convergence issues.

研究の動機と目的

• リチャーズ方程式に対する2次精度で効率的かつ安定した時間積分スキームの開発。
• 土壌水力特性における強い非線形性が原因で生じる陰的スキームの収束問題の解消。
• 湿度のみ、湿度とフラックス、湿度と圧力ヘッドの異なる弱形式（$S$-only, $S$-$q$, $S$-$\psi$）の性能比較。
• 実用的シミュレーションにおいて、半陽的スキームと完全陽的スキームの効率性と安定性の評価。
• 異なる材料特性を有する正確解およびベンチマークテストケースを用いた提案スキームの妥当性検証。

提案手法

• 線形ラグランジュ要素を用いた混合有限要素法により、湿度と圧力ヘッドを変数として使用。
• 非線形項のための2次時間離散化を、外挿式と半陽的テイラー近似を用いて実装。
• 各時間ステップで非線形系を解く必要を回避するため、時間方向の外挿を用いてシステムを線形化。
• 飽和度が1に近づく際に退化を防ぐために正則化式(3.2)を適用。
• 安定性を向上させるために質量ラumpingを施した標準的な反復解法で、得られた線形系を解く。
• 構造的および非構造的メッシュ、さまざまな時間刻みとメッシュサイズを用いてスキームをテスト。

Figure 1: Test case without regularization of the Leverett $J$ -function: Profile of the manufactured solution ( 5.1 ) at different times for $c=-41.1$ .

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次精度の半陽的時間スキームは、リチャーズ方程式に対して、1次精度の陰的スキームよりも精度と効率を向上させることができるか？
• RQ2 異なる弱形式（$S$-only, $S$-$q$, $S$-$\psi$）は、収束速度、精度、計算コストの観点でどのように比較されるか？
• RQ3 提案された半陽的$(S,\psi)$-スキームは、ニュートン系の反復でよく見られる収束不能を回避しながら、2次精度を維持できるか？
• RQ4 特に毛管圧力関数が退化する完全飽和状態下で、このスキームはどのように性能を示すか？
• RQ5 メッシュの細分化と時間刻みの大きさが、$(S,\psi)$-スキームの収束挙動に与える影響は何か？

主な発見

• 半陽的$(S,\psi)$-スキームは時間方向に2次精度を達成し、他のスキームと比較して優れた収束挙動を示す。
• $L^2$-誤差の収束率は、湿度$S_h$について約$k=1.8$、圧力ヘッド$\psi_h$について$k=1.3$である。
• 圧力ヘッドの誤差は湿度の誤差と比べて約70倍大きく、圧力近似の感度がより高いことを示している。
• 陰的$(S,\psi)$-スキームは、1次精度の方法と比較して、より大きな時間刻みを許容しながらも精度を維持できる。
• 非線形性がニュートン反復で収束不能を引き起こす場合、半陽的$(S,\psi)$-スキームは陰的スキームよりもより安定している。
• $(S,\psi)$-スキームは、すべてのテストケースにおいて$S$-スキームおよび$(S,\bm{q})$-スキームを、精度と計算効率の両面で上回っている。

Figure 2: Manufactured solution — Test case without regularization of the Leverett $J$ -function: $L^{2}$ - and $H^{1}$ -error on $S_{h}$ and $\psi_{h}$ as a function of the mesh size $h$ for each scheme with respect to the manufactured solution ( 5.1 ) for $c=-41.1$ .