[論文レビュー] Implicit Euler numerical simulations of sliding mode systems

Vincent Acary, Bernard Brogliato|ArXiv.org|Apr 10, 2009

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 49被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、スライディングモード系の堅牢な数値離散化として、implicit Euler法を提案し、スライディング面における軌道およびその微分の正確な安定化が可能であることを示している。これにより、明示的スキームで一般的に見られる不自然なチタリングを排除している。本手法は、イベントの蓄積（ゼノン現象）を可能とし、複数のスイッチング面（codimension ≥2）を扱える。スライディングモード制御の本質的な不連続性を保ちながら、明示的スキームに比べて優れた数値的安定性と精度を提供する。

ABSTRACT

In this report it is shown that the implicit Euler time-discretization of some classes of switching systems with sliding modes, yields a very good stabilization of the trajectory and of its derivative on the sliding surface. Therefore the spurious oscillations which are pointed out elsewhere when an explicit method is used, are avoided. Moreover the method (an {\em event-capturing}, or {\em time-stepping} algorithm) allows for accumulation of events (Zeno phenomena) and for multiple switching surfaces (i.e., a sliding surface of codimension $\geq 2$). The details of the implementation are given, and numerical examples illustrate the developments. This method may be an alternative method for chattering suppression, keeping the intrinsic discontinuous nature of the dynamics on the sliding surfaces. Links with discrete-time sliding mode controllers are studied.

研究の動機と目的

• スライディングモード系の明示的時系列離散化における不自然なチタリングおよび数値的不安定性の問題を解決すること。
• Filippov系の本質的な不連続ダイナミクスを保つ時間ステッピング数値法を開発すること。
• 複数のスイッチング面（codimension ≥2）およびイベントの蓄積（ゼノン現象）を有する系の正確なシミュレーションを可能とすること。
• 制御の本質的性質を損なう境界層法やフィルタリングに基づくチタリング抑制技術の代替として、安定な暗黙的代替法を提供すること。
• 連続時間スライディングモード制御と離散時間実装との間のギャップを埋めるために、implicit EulerスキームとZero-Order Hold (ZOH) 離散化を結びつけること。

提案手法

• スライディングモード系を表すFilippovの微分包含にimplicit Euler法を適用し、滑らかなダイナミクスの無条件安定統合を保証する。
• スイッチング論理を乗数（スラック変数）を介して再定式化し、混合線形補完性問題（MLCP）を用いて多値関数sgnを効果的に捉える。
• アルゴリズムはイベント捕捉（時間ステッピング）スキームとして実装され、各ステップでのイベント検出を必要とせず、複数および高密度のスイッチングイベントを扱える。
• 適切な仮定の下で、最大単調写像および補完性理論を活用し、解の存在および一意性を保証する。
• 本手法はZOH離散化系へ拡張され、implicit Euler時間離散化と離散時間スライディングモード制御設計との間で同等性が示された。
• 数値実装では、各時間ステップにおける非線形方程式を解くために、semi-smooth Newton法を用い、収束性を強固に保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 implicit Euler法は、明示的スキームとは異なり、スライディングモード系の数値シミュレーションにおける不自然なチタリングを排除できるか？
• RQ2 implicit Eulerスキームは、codimension ≥2 のスライディング面上での軌道およびその微分の安定化にどの程度効果を発揮するか？
• RQ3 本手法は、有限時間内に無限回のスイッチングが発生するゼノン現象（infinite switching in finite time）を、数値的崩壊を来さずにどの程度処理できるか？
• RQ4 implicit Eulerアプローチは、フィルタリングや境界層技術とは異なり、スライディングモード制御の本質的な不連続ダイナミクスを保っているか？
• RQ5 離散時間スライディングモード制御器設計において、本手法はZOH離散化と比較して安定性および精度の点で優れているか？

主な発見

• implicit Euler法は、大きな時間ステップ（例：h = 0.1）でさえも、スライディング面上での状態およびその微分の滑らかで正確な安定化を達成し、チタリングは観測されない。
• 本手法は、2つのスイッチング面を持つFilippov例のような、複数のスイッチング面（codimension ≥2）を有する系に対しても成功裏に処理でき、振動を伴わず原点への収束が達成された。
• 本手法は、数値例で示されたように、ゼノン現象のシミュレーションを、数値的発散を来さずに可能としている。
• implicit時間統合パrameter θ の選択が安定性に顕著に影響する：θ = 1（後退Euler）は無条件安定性を保証するが、θ = 0（明示的Euler）ではh = 0.01で不安定になる。
• θ = 1/2 を用いることで、滑らかな部分のダイナミクスにおける数値的精度が向上するが、多値項を完全に暗黙的に扱うため、全体として2次収束は得られない。
• 観測器ベースのSMCでは、本手法はチタリングのない制御入力と、低サンプリングレート（10 Hz）でも高速な誤差収束を生み出し、ロバストネスおよび実用的妥当性を確認した。