[論文レビュー] Implicit-explicit Runge-Kutta schemes and applications to hyperbolic systems with relaxation

L. Pareschi, G. Russo|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2010

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、緩和項を伴う双曲型系に対して、高次の漸近的保存性（AP）を持つ陰・陽的分割（IMEX）ルンゲ＝クッタスキームを提案する。非剛性の双曲的フラックスには強安定性保存（SSP）陽的スキームを、剛性の緩和項にはL安定性を持つ対角的陰的ルンゲ＝クッタ（DIRK）法を組み合わせる。これらのスキームは、剛性・非剛性の両領域において高次精度を維持し、WENO空間再構成を用いて高解像度の衝撃波捕捉を実現する。浅水域流れ、交通流、粉じんガスへの応用において、低次の手法に比べ優れた性能を示す。

ABSTRACT

We consider new implicit-explicit (IMEX) Runge-Kutta methods for hyperbolic systems of conservation laws with stiff relaxation terms. The explicit part is treated by a strong-stability-preserving (SSP) scheme, and the implicit part is treated by an L-stable diagonally implicit Runge-Kutta methods (DIRK). The schemes proposed are asymptotic preserving (AP) in the zero relaxation limit. High accuracy in space is obtained by Weighted Essentially Non Oscillatory (WENO) reconstruction. After a description of the mathematical properties of the schemes, several applications will be presented.

研究の動機と目的

• 剛性緩和項を伴う双曲型系のための高次、漸近的保存性（AP）を持つ時間積分スキームの開発。
• 非剛性フラックスには強安定性保存（SSP）陽的スキーム、剛性源項にはL安定性を持つ対角的陰的ルンゲ＝クッタ（DIRK）法を組み合わせること。
• スキームがゼロ緩和極限（ε → 0）においてもその次数の精度を維持すること（漸近的精度を保証）。
• 衝撃波捕捉のための重み付き本質的に非振動（WENO）再構成を用いて、高解像度の空間離散化を実現すること。
• 浅水域流れ、交通動態、粉じんガス動力学といった実際の物理的応用においてスキームを検証すること。

提案手法

• IMEXルンゲ＝クッタフレームワークにより、系を陽的および陰的部に分割：双曲的フラックス項 ∂xF(U) を陽的に取り扱い、剛性の緩和項 R(U)/ε を陰的に取り扱う。
• 陽的段階値は、不連続性付近での振動を防ぎ、単調性を保つために強安定性保存（SSP）スキームを用いて計算する。
• 陰的段階値は、剛性領域における安定性を保証するため、L安定性を持つ対角的陰的ルンゲ＝クッタ（DIRK）法により計算する。
• 高次空間精度は、WENO再構成を用いた保存則に基づく有限体積法または有限差分法により達成され、衝撃波近傍での振動を最小限に抑える。
• スキームが漸近的保存性（AP）であることが証明され、ε → 0 のとき、数値解が正しい平衡系に収束することが示された。
• 粉じんガス応用における非線形代数系の効率的解法として、ニュートン法が用いられた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 剛性緩和極限（ε → 0）においても次数の精度を維持できる高次IMEXルンゲ＝クッタスキームを構築可能か？
• RQ2 陽的部では強安定性保存（SSP）性を保ちつつ、陰的部ではL安定性を確保するにはどうすればよいか？
• RQ3 WENO再構成は、低次の空間スキームに比べ、緩和項を伴う双曲型系における衝撃波の解像度をどの程度向上させるか？
• RQ4 異なる領域において、従来の分割法に比べ、提案スキームの精度と安定性はどのように異なるか？
• RQ5 粉じんガスモデルのような複雑な非線形源項を、過剰な数値拡散を伴わず処理できるか？

主な発見

• 提案されたIMEX-SSP2-WENOおよびIMEX-SSP3-WENOスキームは、それぞれ非剛性領域と剛性領域で2次および3次精度を達成し、3次スキームでは衝撃波のぼやけが顕著に減少した。
• ε = 0.2 の交通流モデルにおいて、3次スキームは2次スキームよりも衝撃波をより鋭く捉え、わずかな振動と一貫した密度およびフラックスプロファイルの解像度を示した。
• ε = 0.01 の粉じんガスモデルにおいて、3次スキームは2次スキームに比べて数値拡散が少なく、衝撃構造をよりよく保持したが、保存変数の定式化に起因する圧力プロファイルにわずかな不自然な振動が生じた。
• スキームは漸近的保存性を示した：ε → 0 のとき、数値解は平衡系に収束し、低次元モデルと整合することが確認された。
• ニュートン法の使用により、粉じんガスケースにおける非線形陰的系の効率的解法が可能となり、源項の非線形性にもかかわらず、安定性が保証された。
• 数値結果から、分割法に比べて剛性領域において提案スキームが優れた性能を示すことが確認された。特に、分割法では次数低下の問題が顕著に現れた。