[論文レビュー] Implicit Extremes and Implicit Max-Stable Laws

Hans‐Peter Scheffler, Stilian Stoev|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2014

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、確率的ベクトルの極値的挙動をその周辺分布の値ではなく、非負の損失関数 f を通じて研究する『暗黙の極値』の理論を提示する。極値的挙動が f の最大値を達成するベクトルの極限分布が暗黙的に max-安定的であることを確立し、錐上で正則変動を用いてこれらの分布を特徴づける。これにより、多次元設定における複雑で連携する極値的イベントへの古典的極値理論の拡張が達成される。

ABSTRACT

Let $X_1,...,X_n$ be iid random vectors and $f\ge 0$ be a non-negative function. Let also $k(n) = { m Argmax}_{i=1,...,n} f(X_i)$. We are interested in the distribution of $X_{k(n)}$ and their limit theorems. In other words, what is the distribution the random vector where a function of its components is extreme? This question is motivated by a kind of inverse problem where one wants to determine the extremal behavior of $X$ when only explicitly observing $f(X)$. We shall refer to such types of results as to implicit extremes. It turns out that, as in the usual case of explicit extremes, all limit implicit extreme value laws are implicit max-stable. We characterize the regularly varying implicit max-stable laws in terms of their spectral and stochastic representations. We also establish the asymptotic behavior of implicit order statistics relative to a given homogeneous loss and conclude with several examples drawing connections to prior work involving regular variation on general cones.

研究の動機と目的

• 観測可能なのは確率的ベクトル X そのものではなく損失関数 f(X) のみである状況において、その連合極値的挙動を理解する理論的枠組みを構築すること。
• i.i.d. 複数のコピーにおいて非負の損失関数 f(X_i) の最大値を達成する確率的ベクトル X_k(n) の極限分布を特徴づけること。
• すべてのこうした極限分布が暗黙的に max-安定的であることを確立し、古典的極値理論を暗黙の極値へと一般化すること。
• 一般錐上の正則変動と理論を結びつけ、暗黙の極値の自然な数学的基盤を提供すること。
• 隠れた正則変動、隠れた依存、ピークオーバースチュアモデルといった先行研究を、暗黙の最大値という新しい視点から統合的かつ拡張的に扱うこと。

提案手法

• R^d \ {f=0} 上の錐上で正則変動を用い、一般化された極座標を用いて正則変動測度を分解する。
• 正則変動測度を一般化された単位球上のスペクトル測度で表すための分解公式を適用する。
• 暗黙の極値を、f が非負かつ同次的損失関数であるときの X_k(n) = argmax_{i=1,...,n} f(X_i) として定義する。
• 正規化された X_k(n) の弱収束を確立し、正則変動のもとで極限分布が f-暗黙的に max-安定的であることを示す。
• 分解公式を用いて、スペクトル測度に基づく極限分布の確率的表現を導出する。
• 正則変動を用いた錐上での暗黙的 max-吸引領域の特徴づけを行い、これが正確に R^d \ {f=0} 上で正則変動的である分布のクラスに一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 i.i.d. 複数のコピーにおいて非負の損失関数 f(X_i) の最大値を達成する確率的ベクトル X_k(n) の極限分布は何か？
• RQ2 極値的挙動が損失関数 f を通じて暗黙的に定義される場合、max-安定性の概念をどのように一般化できるか？
• RQ3 暗黙の極値と一般錐上での正則変動との関係は何か？ そして、これは古典的極値理論をどのように拡張するか？
• RQ4 暗黙の極値は、隠れた正則変動やピークオーバースチュアモデルといった既存の枠組みとどのように関係するか？
• RQ5 ある分布が f-暗黙的に max-安定的分布の暗黙的 max-吸引領域に属するための条件は何か？

主な発見

• すべての暗黙の極値の極限分布は f-暗黙的に max-安定的であり、これは正規化された i.i.d. 複数のコピーの暗黙的最大値が同じ正規化のもとで安定分布に収束することを意味する。
• f-暗黙的に max-安定的分布の暗黙的 max-吸引領域は、正確に R^d \ {f=0} 上で正則変動的である分布のクラスに一致する。
• 極限分布は分解公式を介してスペクトル測度に基づく確率的表現を有し、錐の幾何構造と極値的依存性を結びつける。
• 正則変動の仮定のもとで、正規化された暗黙的最大値の分布収束は正の実数直線のコンパクト集合上で一様に成立する。
• すべての可算個を除く u に対して、{f > u} の境界が ν-測度をもたないため、正則変動条件の妥当性が保証される。
• 尾確率 P(f(X) > u) は指数 -α で正則変動的であり、α は測度の正則変動指数である。これは損失関数の重尾的性質を確認する。